Algebra lineal espacios con producto escalar

Hoja 8

Curso 2012-2013
Álgebra Lineal

Hoja 8 Mínimos cuadrados
P1. Hállese la proyección ortogonal del vector b de R3x1 sobre el subespacio R(A)

1 1
A  2 2 


0 0 

1
b  1

1

Resuélvase por los siguientes métodos:

a) Utilizando una base ortonormal del subespacio R(A)
b) Utilizando la matriz de proyección ortogonal (i.e. mínimos cuadrados yseudoinversa)
P2. Dadas la columna b y la matriz A siguientes:

1
b 
 2

 1
A
 1

1
1

1
1 


Calcular:
a) La solución de mínimos cuadrados del sistema Ax = b
b) Laproyección ortogonal de la columna b sobre el subespacio R(A) mediante la matriz de
proyección ortogonal
c) La proyección ortogonal de la columna b sobre el subespacio R(A) mediante el empleo de
unabase ortonormal de R(A)
Úsese el producto escalar ordinario.
P3. Usando el producto escalar ordinario, hallar la proyección ortogonal de la columna x sobre el
subespacio generado por las columnas uy v:

1 
x   2
 
 3
 

1
u  1

1


 1
v   1 
 
 1
 

P4. Ajustar por mínimos cuadrados la recta más cercana a los tres puntos de R2 siguientes:(0, 0), (1, 2), (2, 5)

Escuela de Ingeniería Universidad Panamericana

Hoja 8

Curso 2012-2013
Álgebra Lineal

Nota: utilice y  m  x  b como ecuación de la recta de ajuste y determine elvalor de m y b
mediante mínimos cuadrados.
P5. Hallar la solución de mínimos cuadrados del sistema de ecuaciones Ax = b siendo

1 2 0  1 0 
1
2 4 1  2 1 1 2 0 b  1
A
 
0 0 1


1 2 0  1 0  
1

 


P6. Hallar la solución de mínimos cuadrados del sistema de ecuaciones Ax = b siendo

2 1
A  2 1


2 1



 2
b   3
 
4
 

P7. Demuéstrese que la seudoinversa
las siguientes propiedades:

de la matriz A cumple

1)
2)
3)
4)
P8. Demuéstrese que si
es la matriz de proyección ortogonal sobre...