Algebra Lineal Espacios Vectoriales

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algebra lineal, espacios vectoriales
INSTITUTO TECNOLOGICO DEL VALLE DE MORELIA |
ING. CONSTANTINO |
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TRANSFORMACIONES LINEALES |
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ALEJANDRO TORRES CENTENO |
10 DE DICIEMBRE DEL 2012 |
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INTRODUCCION
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con unaestructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denominatransformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de lamatemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
Las funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

TRANSFORMACIONESLINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar consistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denominatransformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1.2. donde k es un escalar.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).
Propiedades de las transformaciones lineales
1.
Transformación Lineal Singular y No Singular
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal deen. Entonces, es no singular si:
X
En caso contrario es singular.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
* Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales
Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si elúnico elemento del núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al condominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Definición 1   Sean espacios vectoriales, y sea. Diremos...