Algebra Lineal Notas Completas

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Apuntes del programa completo de Algebra
Lineal
Ricardo Ceballos Sebasti´an
15 de enero de 2015

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Ricardo Ceballos Sebasti´an

´Indice general
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales
1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Ecuaciones lineales con dos inc´ognitas . . . . . . . . .
1.1.2. Ecuaciones lineales con tres inc´ognitas . . . . . . . .
1.1.3. Sistema dem ecuaciones lineales con n inc´ognitas . .
1.1.4. Eliminaci´on de Gauss y de Gauss-Jordan con pivoteo
1.1.5. Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Definici´on de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2. Algebra
matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Transpuesta de unamatriz . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Representaci´on matricial de un sistema de ecuaciones
1.3. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Matrices elementales y matrices equivalentes a la matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. La inversa de una matriz como el producto de matrices
elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
1.3.3. Soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales usando
la inversa de la matriz de coeficientes . . . . . . . . .
1.4. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Propiedades de las permutaciones . . . . . . . . . . .
1.5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.Propiedades y c´alculo de determinantes . . . . . . . .
1.5.2. Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. La inversa de una matriz a trav´es de su adjunta . . .
1.5.4. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Espacios Vectoriales
1092.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1.1. Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . 109
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Ricardo Ceballos Sebasti´an

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.1.2. Ejemplos de espacios vectoriales de distintos g´eneros . 110
Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.2.1. Definici´on y propiedades b´asicas . . .. . . . . . . . . . 118
2.2.2. Ejemplos de subespacios vectoriales de distintos g´eneros 118
Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.3.1. Espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . 126
Bases de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.1. Dimensi´on de unespacio vectorial . . . . . . . . . . . . 133
2.4.2. Rango y nulidad de una matriz . . . . . . . . . . . . . 140
Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.5.1. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5.2. Proceso de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt . . . . 159
Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.6.1.Representaci´on de un vector mediante una base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.6.2. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . 170

´Indice de figuras
1.1. Posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos
inc´ognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Diagrama de ´arbol . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 67
1.3. L´ınea de cuadros para contar las permutaciones . . . . . . . . 68
2.1. Rotaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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Ricardo Ceballos Sebasti´an

´Indice de tablas
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . .
Paridad de las permutaciones del conjunto {1,2,3} .
Productos elementales para una matriz de 3x3...