Algebra Lineal - Numeros Complejos

UNIDAD 1 IEM1
NUMEROS COMPLEJOS

Equipo 1

1.1 Definición y origen de los números complejo

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. Su conjunto se designa como C e incluye todas las raíces de los polinomios; pueden representarse como la sumade un número real y un número imaginario.

Un número imaginario es aquel que cuando se eleva al cuadrado da como resultado un número negativo, tienen su origen en el problema de que existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, por ejemplo x2+1=0, que no tiene solución en R, porque no hay entre los números reales, un numero que elevado al cuadrado de comoresultado uno negativo. Para solucionar los problemas en los que aparecen raíces cuadradas de números negativos es preciso ampliar el conjunto de los Números Reales, de manera que estos sean un subconjunto de los Números Complejos C. Este nuevo conjunto conserva las propiedades de las operaciones y permite que todos los números tengan raíz cuadrada.

Los números complejos son la herramienta de trabajodel algebra ordinaria, así como en diversas ramas de las Matemáticas puras y aplicadas, en Física y en Ingeniería.

En Matemáticas, los números complejos constituyen un cuerpo, y en general se consideran puntos en un plano. La propiedad mas importante de un numero complejo es el “Teorema Fundamental del Algebra”, que afirma que “Cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente nsoluciones complejas”

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) quien abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

1.2 Operacionesfundamentales con números complejos

Cada numero complejo Z (Re, Im) esta compuesto por una parte real una imaginaria de la forma Z= (a + bi), donde a y b son números reales, y a es la parte real del numero, mientras b es la parte imaginaria.

* SUMA
Para sumar números complejos se siguen las normas básicas de la aritmética, solo que esta vez, se suman los reales con los reales, y losimaginarios con los imaginarios. Por ejemplo si tenemos dos números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

* RESTA
Al igual que la suma se siguen las mismas reglas que para los números reales, restando reales con reales e imaginarios con imaginarios.

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

* MULTIPLICACION
Para multiplicar números complejos se usan las mismas reglasque para la multiplicación de polinomios, se multiplica cada termino del primer numero por cada termino del segundo, con ello obtenemos cuatro términos que pueden ser reducidos o simplificados.

* DIVISION
La división de números complejos requiere mayor trabajo que la multiplicación, y partimos de una artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado es unnumero real.

(a + bi) * (a + bi) = (a2 – b2 i2) = (a2 + b2)

Así la división de dos números complejos la multiplicamos por el conjugado del denominador para obtener su resultado

EJEMPLOS:

(4 + 2 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (2 + 2) i = 7 + 4 i
(8 - 11 i) + (13 + 2 i ) = (8 + 13) + (-11 + 2) i = 21 – 9 i
(-4 – 6 i) + (-7 + 8 i) = (-4 + -7) + (-6 + 8) i = -11 + 2 i
(-10 - 4 i) + (-1 + -9i) = (-10 + -1) + (-4 + -9 i ) = -11 -13 i
(23 + 67 i) + (-13 + -47 i) = (23 + -13) + (67 + -47) i = 10 + 20 i

(15 + 4i ) – (9 - i) = (15 – 9) + (4 - -1)i = 6 + 5i
(-11 + 2i) – (4 – 14i) = (-11 – 4) + (2 - -14)i = -15 +16i
(-17 - 15i) – (-12 – 19i) = (-17 - -12) + (-15 - -19)i = -5 + 4i
(12 + 17i) – (6 + 9i) = (12 – 6 ) + (17 – 9)i = 6 + 8i
(-2 – 8i) – (15 + 4i) = (-2 - 15) + (-8 – 4)i =...