algebra lineal portafolio








ING. MECATRONICA


PROFESOR:
L.M.A Daniel Cardona Ríos
TITULO:
Portafolio de evidencias
ALUMNO:
Jorge Luis García Reza
Numero de control:
13B100154
30 de May de 2014

Unidad 1 Números complejos
Introducción
Hasta ahora en mis estudios solo se han manejado números reales, pero surge la necesidad de trabajar con los números complejos, y además aplicar la trigonometríaen ellos.
En el transcurso de la primera unidad trabajaremos con los números complejos, entre los temas principales trabajaremos con las operaciones fundamentales, que son suma, resta, adición y sustracción. Además de esto aplicaremos las potencias de los números imaginarios o complejos. También manejaremos la forma polar y exponencial de un número complejo para lo que vamos a utilizar nuestrosconocimientos previos de trigonometría

1.1 Definición y origen de los números complejos

Resolver la ecuación cuadrática , es buscar un número que satisfaga la condición de que , que es un numero negativo. Pero según la regla de los signos de la multiplicación de números reales, sabemos que todo número real tiene la propiedad de que su cuadrado es un número real no negativo.
Por lo tanto, elnumero x que es solución de no puede ser un número real. Para que sea posible la resolución de la ecuación, introducimos un nuevo número dado por la definición siguiente:
Definición la cantidad se llama unidad imaginaria. Se la representa con el símbolo y tiene la propiedad de que
Para representar la raíz cuadrada de un número negativo distinto de -1, introducimos una nueva clase denúmeros definidos así:
Definición Un numero de la forma bi en donde b es cualquier número real e i es la unidad imaginaria, recibe el nombre de numero imaginario puro.
Hay ocasiones en que se representan la suma de un número real y un imaginario puro. En consecuencia tenemos:
Definición un numero de la forma a+bi en donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, se llama un númerocomplejo.
Fuente: Algebra. CHARLES H. LEMAN. LIMUSA.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Las cuatro operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se llaman operaciones fundamentales. Cuando estas operaciones se aplican a números complejos sus definiciones son tales que obedecen todas las leyes del algebra, con dos excepciones. Una excepción se ha observado ya, asaber, que , que es una propiedad que no poseen los números reales. La otra es la siguiente ley de los números reales:
Para
Esta ley no es válida para los números imaginarios. Así tenemos,
Para
El resultado correcto se obtiene como sigue:


Operaciones fundamentales para don números complejos cualesquiera a + bi y c + di.
Adición. Para sumar dos o más números complejos, se sumanseparadamente las partes reales e imaginarias del mismo modo como se reducen los términos semejantes en la adición de expresiones algebraicas ordinarias. Así tenemos:
,
,
Esta última igualdad constituye la definición para la suma de dos números complejos.

Multiplicación. El producto de dos números complejos se obtiene multiplicándolos como binomios ordinarios i luego reemplazando por -1. Asítenemos:


Siendo esta igualdad la definición del producto de dos números complejos.

División. Para expresar el cociente de dos números complejos como un solo número complejo, utilizamos el conjugado del denominador. Así tenemos:


O sea



Siendo esta última igualdad la definición del cociente de dos números complejos.
Fuente: Algebra. CHARLES H. LEMAN. LIMUSA.

Nota:
Ley de lacerradura.
Si se suman, multiplican o dividen dos números complejos, dan como resultado otro número complejo.
Ejercicios:

Sumar:
1.
2.
3.
4.
Multiplicar:
1.
2.
3.

Dividir:
1.
2.
3.

1.3 Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de un numero complejo.

Al elevar i a potencias sucesivas, se obtiene

Y el ciclo comienza de nuevo
Etcétera.
Como el producto...