Algebra_Lineal_SGrossman_Sec_3

234

CAPÍTULO 3

Vectores en R2 y R3

axis square
a=axis;
axis([min(a([1,3])),max(a([2,4])),min(a([1,3])),max(a([2,4]))])
%
hold off
Una vez que se haya escrito la función en un archivo con nombre lincomb.m, dé el comando
doc lincomb para tener una descripción de este archivo con extensión m.
Sean u y v dos vectores de 2 3 1 que no son paralelos. Sea w 5 5*(2*rand(2,1)21).
Dé lincomb(u,v,w).Primero verá graficados u, v y w. Oprima cualquier tecla y aparecerá
la geometría de w escrita como una combinación lineal de u y v. Repita para diferentes
vectores w, u y v.

3.2

EL

PRODUCTO ESCALAR Y LAS PROYECCIONES EN

R2

En la sección 1.6 se definió el producto escalar de dos vectores. Si u 5 (a1, b1) y v (a2, b2), entonces
u ? v 5 a1a2 1 b1b2

(1)

Ahora se verá la interpretación geométricadel producto escalar.

DEFINICIÓN 1

Ángulo entre vectores
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el ángulo ϕ entre u y v está definido
como el ángulo no negativo más pequeño† entre las representaciones de u y v que tienen
el origen como punto inicial. Si u 5 αv para algún escalar α, entonces ϕ 5 0 si α . 0 y
ϕ 5 π si α , 0.
Esta definición se ilustra en la figura 3.11. Observe que ϕsiempre se puede elegir para que sea
un ángulo no negativo en el intervalo [0, π].

TEOREMA 1

Sea v un vector. Entonces
|v|2 5 v ? v
Sea v 5 (a, b). Entonces

DEMOSTRACIÓN

|v|2 5 a2 1 b2
y
v ? v 5 (a, b) ? (a, b) 5 a ? a 1 b ? b 5 a2 1 b2 5 |v|2

†

Este ángulo estará en el intervalo [0, π].

(2)

3.2

235

El producto escalar y las proyecciones en R2
y

Figura 3.11
y

Ángulo ϕ entre dosvectores

u

y
u
v

u





u

x

0



x

0
x

0

v

v

a)

b)

c)

y
y

v
v

5 


5 0

x

0
u
x

0

u

d)

TEOREMA 2

e)

Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Si ϕ es el ángulo entre ellos, entonces
cos 


DEMOSTRACIÓN

uv
u v

(3)

La ley de los cosenos (vea el problema 2.5.10, página 215) establece que en el triángulo
de la figura 3.12
c2 5 a2 1 b2 2 2ab cos C
y

(a1, b1 )

B
a

c
Ab

ϕ

(a2, b2 )

v2u

u

v
C

0

Figura 3.12

Figura 3.13

Triángulo con lados a, b y c

Triángulo con lados |u|, |v|
y |v 2 u|

x

236

CAPÍTULO 3

Vectores en R2 y R3

Ahora se colocan las representaciones de u y v con los puntos iniciales en el origen de
manera que u 5 (a1, b1) y v 5 (a2, b2) (vea la figura 3.13). Entonces de la ley de los cosenos, | v 2 u |2 5 |v|2 1 |u|2 2 2|u| |v| cos ϕ.Pero
teorema 1 iii ), pág. 59

de (2)

|v 2 u|2 5 (v 2 u) ? (v 2 u) 5 v ? v 2 2u ? v 1 u ? u
5 |v|2 2 2u ? v 1 |u|2
Así, después de restar |v|2 1 |u|2 en ambos lados de la igualdad, se obtiene 22u ? v 5
22|u| |v| cos ϕ, y el teorema queda demostrado.
Observación. Haciendo uso del teorema 1 se puede definir el producto escalar u ? v como
u ? v 5 |u| |v| cos ϕ

E J EM PLO 1

Cálculo del ángulo entredos vectores
Encuentre el ángulo entre los vectores u 5 2i 1 3j y v 5 27i 1 j.
u ⋅ v = − 14 + 3 = − 11, u = 2 2 + 32 = 13 y v = ( −7)2 + 12 = 50 . Así

Solución

cos ϕ =

−11
−11
u⋅v
=
=
≈ − 0.431455497 †
u v
13 50
650

de manera que
ϕ = cos −1 ( −0.431455497) ≈ 2.0169 ‡ ( ≈ 115.6 º )
Nota. Como 0 # ϕ # π, cos21(cos ϕ) 5 ϕ.
DEFINICIÓN 2

Vectores paralelos
Dos vectores diferentes de cero u y v sonparalelos si el ángulo entre ellos es cero o π.
Observe que los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.

E J EM PLO 2

Dos vectores paralelos
Demuestre que los vectores u 5 (2, 23) y v 5 (24, 6) son paralelos.

Solución

cos ϕ =

u⋅v
−8 − 18
−26
−26
=
=
=
= −1
2
(13)
u v
13 52
13 ( 2 13 )

Por lo tanto, ϕ 5 π (de manera que u y v tienen direcciones opuestas).
†
‡

Estosnúmeros, al igual que otros en el libro, se obtuvieron con una calculadora.
Al hacer este cálculo, asegúrese de que su calculadora esté en modo de radianes.

3.2

TEOREMA 3
DEMOSTRACIÓN

DEFINICIÓN 3

El producto escalar y las proyecciones en R2

237

Si u Z 0, entonces v 5 αu para alguna constante α si y sólo si u y v son paralelos.
La prueba se deja como ejercicio (vea el problema 44)....