algebra lineal unidad 1

1.1 Historia de los números complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de lospolinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fuecompletamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Definición de número complejo
Un Número Complejo es una expresión del tipo:

z = a + bi 

donde a y b son números reales e i es unsímbolo.
Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación
x2 + x + 1 = 0
no tiene raíces reales. 
Al tratar de aplicar la formula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión:


No se puede tener una raíz cuadrada de un numero negativo. Sinembargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:


 
luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma:



Que significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un numero negativo?

Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene solución?

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estascuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear un sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo  Raiz cuadrada de -1    como una entidad matemática nueva. 

Comenzaremos por introducir un nuevo numero o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con lacondición:


 
O bien:


 
Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos, cuyos elementos son combinaciones de la forma:


 Donde a y b son números reales. Vemos entonces que todo numero complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.
Ejemplo: El siguiente es un numero complejo:



Suparte real es raíz cuadrada de 2 y su parte imaginaria es raiz cuadrada de -3






1.2 operaciones fundamentales con números complejos
Suma de Numeros complejos.
 
La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales.

Regla: 

Para sumar dos números complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por  otro lado, comonúmeros reales.

Sean z1 = a1 + b1i  y  z2 = a2 + b2i  dos números complejos. 

Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el número complejo: 

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Ejemplo:

Para sumar: z1 = 3 + 2i con z2 = -8 + 4i

Hacemos:

z1 + z2 = (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3 - 8)+ (2 + 4)i
z1 + z2 = -5 + 6i

Resta de números complejos.   

La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado.

Más precisamente:

Sean Z = a + bi y W = c+di dos números complejos,  entonces  la diferencia o resta entre Z y W viene dada
por

Z  -  W = (a - c) + (b - d)i

Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes...