algebra lineal unidad 3




ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 3 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

14/12/2013

ALUMNA: ANNA VICTORIA AMEZCUA TORRES
MAESTRA: ANA LUISA GARCIA
GRUPO F1





















INDICE
3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales…………………………….pag.2,3
3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución…………………………………………………………………………..pags.3-12
3.3Interpretación geométrica de las soluciones………………………….…pag.12,13
3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer………………………….pags.14-25
3.5 Aplicaciones……………………………………………………………….pags.25-29
Bibliografía…………………………………………………………………………..pag.29
Conclusión…………………………………………………………………………..pag.29



3.1 Definición de sistemas deecuaciones lineales.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal asícomo en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como: 



Donde  son las incógnitas y los números  son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:


Si representamos cada matriz con unaúnica letra obtenemos: 
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
Clasificación:
Podemos clasificar los sistemas deecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones delsistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:
Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. 
Ejemplo: 
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los dela otra, mientras que los términos independientes no lo son. 
Ejemplo: 
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra. 
Ejemplo: 

Tipos de Solución:
Sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, acontinuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo,...