Algebra lineal Unidad V Transformaciones lineales



TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE CHALCO

INGENIERÍA INFORMÁTICA

























Investigación Unidad V “Transformaciones Lineales”


Materia: Algebra Lineal
Docente: María del Roció Gloria de Anda
Alumno: Valencia Galván Diana Elisa



Chalco, Tlapala, Estado de México, a 03 de Noviembre del 2013.





5.1 Introducción a lasTransformaciones Lineales

La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:
1). T (v1 + v2) = T (v1)+ T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

La teoría de la matriz entra en la teoría de lastransformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:
Aquí, la transformación lineal t es definida como T(x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, será simple representar la matrizcorrespondiente como .
Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.
El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformaciónlineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base ortonormal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensiónfinita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.
Existen dos espacios fundamentales que están asociados a una transformación lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T.
En unsistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres más el número de variables angulares, quedando una transformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo


5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

En esta secciónse desarrollan algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.
i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) +...