Algebra lineal

GRUPO:
Sea E un conjunto no vacío y * una operación binaria interna definida en él:
E ≠ ∅ * : E x E → E
( a, b ) → a * b
Si resulta que la operación * verifica las propiedades:
1. Asociativa2. Existencia de elemento neutro
3. Existencia de elementos opuestos o inversos, entonces se dice que E con la operación * tiene estructura algebraica de grupo o simplemente que ( E, * ) es un grupo.4. Si además * verifica la propiedad conmutativa. Entonces ( E, * ) es un grupo conmutativo.
Propiedades en un Grupo: (Consecuencias de la estructura algebraica de grupo)
Sea ( E , * ) un grupo,e es el elemento neutro, a’ es el inverso de a
1 – En todo grupo el elemento neutro es único.
2 – En todo grupo el elemento neutro es idempotente (e * e = e ).
3 – En todo grupo el inverso de cadaelemento es único.
4 – En un grupo el inverso de un compuesto es igual al compuesto de los inversos en orden cambiado.
5 – En todo grupo el inverso del inverso de un elemento coincide con dichoelemento, es decir: ( a’ )’ = a , para cualquier a de (E,*)
6 – Los elementos de un grupo son regulares, es decir:
a * c = b * c ⇒ a = b
c * a = c * b ⇒ a = b cualesquiera sean a, b, c del grupo(E,*)
7 – En todo grupo ( E, * ) tiene solución única la ecuación: a * x = b
ANILLO:
Sea E un conjunto no vacío y + y • dos operaciones binarias internas definidas en él:
E ≠ ∅ + : E x E → E • : E xE → E
( a, b ) → a + b ( a, b ) → a • b
Si resulta que para la primera operación + se verifican las propiedades:
1. Asociativa
2. Existencia de elemento neutro
3. Existencia de elementosopuestos o inversos
4. Conmutativa
Es decir que ( E, + ) es un grupo conmutativo pero además para la segunda operación • se verifica la propiedad:
1 – Asociativa
- Y también se cumple la propiedaddistributiva de la segunda operación • respecto de la primera +
Sean a, b, c de E: a . (b + c) = a . b + a . c
Entonces se dice que E con las operaciones + y • tiene estructura algebraica de anillo o...