Algebra lineal

INTRODUCCIÓN. 1.1
El problema central del álgebra lineal es la solución de ecuaciones lineales. La mayoría de los
caso importante, y el más simple, es cuando el número de incógnitas es igual a la
número de ecuaciones.
Hay dos maneras bien establecidas para resolver ecuaciones lineales. Uno de ellos es el método
de la eliminación, en los que los múltiplos de la primera ecuación se restade la
otras ecuaciones, con el fin de eliminar la primera incógnita de las ecuaciones. Este
hojas de un sistema más pequeño, de 11 - las ecuaciones que en el 11 - me incógnitas. El proceso es
repite hasta que sólo hay una ecuación y un desconocido, que puede ser resuelto
inmediatamente. Entonces no es difícil ir hacia atrás, y encontrar las incógnitas otros
invertir el orden, vamos atrabajar en un ejemplo, en un momento. Un segundo y más
manera sofisticada introduce la idea de los factores determinantes. No hay una fórmula exacta
llama la regla de Cramer, que da la solución (los valores correctos de las incógnitas)
como una relación de dos factores determinantes de 11 por 11. De los ejemplos en un libro de texto no es
obvio de qué manera es mejor (11 = 11 = 3 o 4 seacerca el límite superior de la paciencia
de un ser humano ser razonable).
De hecho, la fórmula más sofisticadas, con los factores determinantes es un desastre en
la práctica, y la eliminación es el algoritmo que se utiliza constantemente para resolver los grandes
sistemas de ecuaciones. Nuestro primer objetivo es entender este algoritmo. Por lo general,
llama la eliminación de Gauss.
Laidea es engañosamente simple, y de alguna forma que ya esté familiarizado con
el lector. Sin embargo, hay cuatro aspectos que se encuentran más profunda que la mecánica simple
de la eliminación. Junto con el propio algoritmo, queremos explicar en este

capítulo. Ellos son:
(1) La geometría de ecuaciones lineales. No es fácil de visualizar un lfl dimensiones
plano en el espaciol-dimensional. Es más difícil ver a once de los aviones
se cortan en un único punto en que el espacio-pero de alguna manera es casi posible.
Con tres planos en tres dimensiones que sin duda se puede hacer. A continuación, el álgebra lineal
traslada el problema en cuatro dimensiones, o once dimensiones, donde la intuición
tiene que imaginar la geometría (y lo consigue a la derecha).
(2) La interpretaciónde la eliminación como la factorización de la matriz de coeficientes.
Vamos a introducir la notación de matrices para el sistema de n ecuaciones, escribiendo el
incógnitas como un vector x y las ecuaciones en el eje de la matriz abreviada = b. A continuación,
cantidades de eliminación para el factoring A en un producto LV, de una matriz triangular inferior
L y una matriz triangular superior V.En primer lugar tenemos que introducir las matrices y los vectores de una manera sistemática, así como
las normas para su multiplicación. También definimos el tranvía-AT y plantean la inversa
A - 1 de una matriz A.
(3) En la mayoría de los casos la eliminación se pone en marcha sin dificultades. En algunos excepcionales
casos se descompone, ya sea porque las ecuaciones fueron escritos en elorden equivocado, que se fija fácilmente mediante el intercambio de ellos, o bien porque las ecuaciones
no tienen una solución única. En este último caso puede haber una solución,
o un número infinito. Queremos entender cómo, en el momento de la avería, el
proceso de eliminación identifica cada una de estas posibilidades.
(4) Es esencial tener un cálculo aproximado del número de operacionesnecesarias
para resolver un sistema por eliminación. El gasto en informática a menudo se determina la
precisión en el modelo. La computadora puede hacer millones de operaciones, pero no muy
muchos billones. Y ya después de un millón de pasos, el error de redondeo puede ser significativo.
(Algunos problemas son sensibles;. Otras no lo son) Sin tratar de detalle, que
quieren ver lo que los...