Algebra lineal

Transformaciones lineales
6.1 Definición
6.2 Propiedades
6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal
6.4 Representación matricial de una transformación lineal
6.5 Isomorfismos
6.6 Operaciones con transformaciones lineales
6.7 Algebra de transformaciones lineales
 

Transformaciones lineales
Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de(V,F) a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada vector v en V un vector w en W tal que:
T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)
T(v)= T(v)

Se sigue que T(0)=0, ya que T(v)=T(v+0)=T(v)+T(0) lo que implica que T(0) debe ser el cero de W.
Transformaciones lineales
El espacio imagen
Todos los vectores w en (W,G) tal que w=T(v)
Solución. Si w es fijo, entonces existe v en (V,F) tal que T(v)=w ssi w estáen la imagen de T.

Se aplica Sobre

Claramente el problema Solución tiene solución si T es onto.
Transformaciones lineales
Otro problema es si la solución es única.
T(v1)=T(v2)=w

Se aplica Inyectividad

Claramente la solución es única si w esta en la imagen de T y T es inyectiva.

T(v1)=T(v2)  T(v1)-T(v2)=0  T(v1-v2)=0

También T tiene kernel.
Transformaciones lineales
Máspropiedades de las transformaciones lineales
T(u-v)=T[u+(-1)v]=T(u)+T[(-1)v]=T(u)+(-1)T(v)=T(u)-T(v)
T(1v1+...+nvn)= 1v1+...+nvn
Esto se puede ver por asociatividad e inducción

Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y T1, T2 dos transformaciones lineales. Si T1(vi)=T2(vi) para todo vi en B, entonces T1(v)=T2(v) para v en (V,F).
Demo, comocualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T1(v)=T1(1v1+...+nvn)= T1(1v1)+...+T1(nvn)=T2(1v1)+...+T2(nvn)=T2(v)
Transformaciones lineales
Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y (W,G) un espacio vectorial que contiene a los vectores w1,...,wn, entonces existe una única transformación lineal tal que T(vi)=wi, para vi en B.Demo. Como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T se define como T(v)=1w1+...+nwn
T será una transformación lineal T(u+v)=T[(1v1+...+nvn)+(1v1+...+  nvn)]=
=T[(1+1) v1+...+( n+n) vn] Por la definición de T,
= (1+1) w1+...+( n+n) wn=T(u)+T(v)
Transformaciones lineales
De igual forma
T(u)=T[(1v1+...+ nvn)] Por la definición de T,1w1+...+ nwn= T(u)
Por teorema anterior se tiene la unicidad

Tarea: Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Demsotrar que el kernel de T es un subespacio de (V,F) y que la imagen de T es un subespacio de (W,G).
Transformaciones lineales
Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal.
Nulidad de T =(T) =dim (Ker (T))
rango de T = (T) = dim (Im (T))

Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal.
(T)+ (T) = dim (V,F)
Demo. Suponer que (T)=r y que {v1,...vr} es una base para el kernel; además (T)=k y {w1,...wk} es una base para la imagen de T.
Entonces hay que demostrar que B={v1,...,vr,u1,...,uk}
Transformaciones lineales
Sea un vque pertenece a (V,F). Como T(v)= 1w1+...+kwK
Al Vector v lo podemos escribir como
v= 1u1+...+kuK-v’  v´= 1u1+...+kuK-v
T(v’)=T(1u1+...+kuK-v)= 1T(u1)+...+kT(uk)-T(v)
= 1w1+...+kwK-T(v)=0  v’ está en el kernel de T

Como {v1,...vr} es una base de Kernel de T, existen escalares 1 ,.., r tal que v’= 1v1+ ... +rvr=1u1+...+kuK-v
Por tanto v= 1u1+...+kuK- 1v1- ... -rvry {u1,...,uk, v1,..., vr} genera (V,F)
Ahora hay que ver que sean L.I.
Transformaciones lineales
Sea un vector 1u1+...+ kuK+ 1v1+ ... + rvr=0
Entonces T(1u1+...+ kuK+ 1v1+ ... + rvr)=0
Como los vi están en el kernel 
0= 1w1+...+ kwK, como los wi son una base de la magen, entonces son L.I. y la única solución es i=0
Entonces el vector se reescribe como
1v1+ ... +...