algebra lineal

Espacio Vectorial

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1.- Se considera R con la suma habitual y con el producto por un escalar que se
indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R3, +,·) es
espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla:
a) λ ( x, y, z ) = ( λ x, λ y, z )
b) λ ( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 )

c) λ ( x, y, z ) = ( 3λx, 3λy, 3λz )

2.- Definimos en R2 lasoperaciones siguientes:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y '+ 1)
λ ( x, y ) = ( λ x, λ y + λ − 1)

Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de (x, y)
Probar que R2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.
3.- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R3. En caso
afirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas deF.
a) F = { (1, α, β ) ∈ R3 / α, β ∈ R}

{ ( 0, α, β ) ∈ R / α, β ∈ R}
F = { ( x, y, z ) ∈ R / − x + 3y + 2z = 0}
F = { ( 2α, −β , γ ) ∈ R / α, β, γ ∈ R}

b) F =
c)
d)

3

3

2

3

e) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x }
f) F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0}
g) F= {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z) .
5.- ¿Qué valores deben tener m y n para que el vector
(-3,m,n,2m-n) ∈< {( 1, 0, 0,0 ) , ( 0,1,1,1) ,(1,1,1,1)} > ?

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Espacio Vectorial
6.- Sea Pn(x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de
grado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio xn y sus n primeras
derivadas forman una base de Pn(x) e indicar las coordenadas del polinomio
1+x+x2 en esta base.

7.-Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial de R3 o subespacios distintos G1={(1,0,-1), (0,1,-1)} y G2 = {(1,1,-2),
(2,1,-3), (0,1,-1)}
8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas
 0 1
que permutan con la matriz A  
 . Y sea el subespacio vectorial
 1 0 
 a b 



F= 
 / a,b, c  R  Se pide: c  a 



a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
b) Una base de E.
c) Los subespacios vectoriales E  F y E+F.

9.- a) ¿Para qué valores de x los siguientes sistemas de vectores son bases de
R3? B1  1, 1, 0  ,  x,1, 0  ,  0,2,3  ; B2   2, x,1 , 1, 0,1 ,  0,1,3 
b) Para x = 0, escribir las ecuaciones de cambio de base de B1 a la canónica,
de lacanónica a B1, de B1 a B2 y de B2 a B1.










10.- Hallar las coordenadas del vector u   x, y, z  en la base B '  v1, v2 , v3








donde v1  1,2, 0  , v2   3, 7,1 y v 3   0,2, 1 . ¿Cuál es la matriz de

cambio de la base B’ a la canónica?
11.-a) Probar que los sistemas de vectores G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial F de R4.
G1={(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)}
G2= {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}
b) Hallar la dimensión, una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y las
ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellas
cuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada)
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Espacio Vectorial

c) Sea H = {(x, y, z, t) ∈ R tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0}. Se pide:
1. Hallar la dimensión y una base de H, de F + H y de F ∩ H
respectivamente.
2. Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de F∩H.
d) ¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio
suplementario de F.
⎛1
⎜
0
12.- Sea la matriz A = ⎜⎜1
⎜
⎝2

{

→

→

B = u1,..., u4

}

{

2

4⎞
⎟
1 − 2 − 1⎟
de cambio de base de B a B’, siendo
4 7 0⎟
⎟
5 8 3⎠

→

→

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}

→

y B ' = v1,..., v4 . Escribir u2 en función de los vectores de la

base B’. Hallar la matriz de cambio de base de B’ a B.
13.- Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1),
(2,1,0)} son bases de R3 y...