Algebra lineal

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Álgebra

Introducción
En sus orígenes, el álgebra clásica era el arte de resolver ecuaciones (la
palabra álgebra proviene de un vocablo árabe que signica reducción). El
álgebra moderna está caracterizada por el estudio de ciertas estructuras abstractas que tienen en común una gran variedad de objetos matemáticos. El
calicativo abstracto se reere al resultado de realizar elproceso de abstracción sobre las propiedades observables de ciertos objetos matemáticos, es
decir, el proceso consistente en separar la forma del contenido.
La estructura principal objeto de estudio en esta publicación es la de
espacio vectorial. Las aplicaciones de esta estructura incluyen virtualmente todas las áreas de la ciencia. Se incluye una aplicación de los espacios
vectorialesrelacionada estrechamente con el mundo de la informática y las
telecomunicaciones, en concreto a la teoría de códigos y se estudian varias
técnicas y herramientas de interés para otras aplicaciones.
Este volumen viene acompañado por un libro de Prácticas y Problemas
con el sistema Maple V, disponible en versión digital, que contiene una ampliación y completa la descripción de los conceptos teóricos. Lasprácticas
permiten el desarrollo y la experimentación con los aspectos más numéricos y están diseñada para potenciar el empleo de la notable capacidad de
visualización gráca que ofrece el programa Maple V.
A cada tema teórico y práctico hemos añadido ejercicios resueltos y ejercicios propuestos.
Los principales objetivos didácticos que intentamos conseguir son que el
lector:

• aprenda yutilize correctamente técnicas y métodos propios del álgebra
lineal.
• vea la descripción de algunas aplicaciones a la Informática.
• comprenda y aplique algunos métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de aproximación de autovalores y autovectores.
• aprenda a utilizar el programa Maple V (como ejemplo de sistema de
computación simbólica) en sus aplicaciones alálgebra lineal.
Algunos apartados de esta publicación (sobre todo en la parte de ejercicios) son una adaptación del material contenido (unas veces sin modicarlo,
otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografía incluida.

Álgebra

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Agradecimientos
Queremos agradecer al profesor Luis E. Solá Conde por su participación
en la corrección de estas notas y la elaboración de losenunciados de varios
ejercicios propuestos en este libro.
Gracias también a los profesores Alejandro J. García del Amo Jiménez
y Begoña Jiménez Martín por la elaboración de los enunciados de varios
ejercicios propuestos y a los alumnos que han señalado erratas y errores en
versiones previas de esta publicación.

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Álgebra

Índice General
1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices yestructuras algebraicas
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1.1

1.2

1.3

1.4

Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y eliminación gaussiana
1.1.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales . . .
1.1.2 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Transformaciones elementales por las.
Introducción al método de Gauss-Jordan . . . . . . . .
1.1.4 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1.1.5 Estrategia para la aplicación del método
de eliminación gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices y operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3Propiedades del producto de matrices . . . . . . . . . .
1.2.4 El producto de una matriz por un escalar . . . . . . . .
1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn (K) . . . . . . . . .
1.2.6 Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Matrices elementales y un método para hallar A−1 . . .
Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 El concepto...