algebra lineal

Notas de la materia de
Álgebra Lineal

Dr. Antonio Ramos Paz

Facultad de Ingeniería Eléctrica

U.M.S.N.H.

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Álgebra Lineal

FIE

Unidad 1

Espacios Vectoriales sobre un campo

Ecuaciones Lineales, Soluciones

Por una ecuación lineal con incógnitas

x1 , x 2 , x3 , …, x n entendemos una ecuación que puede

escribirse en forma convencional:

a1 x1 + a 2 x 2 + a 3x3 + L + a n x n = b

donde

a1 , a 2 , a 3 , …, a n y b son constantes. La constante a k se denomina el coeficiente de x k y b

se denomina la constante de la ecuación.

Una solución de la ecuación lineal anterior es el conjunto de valores de las incógnitas digamos

x1 = k1 ,

x 2 = k 2 , x3 = k 3 , …, x n = k n o simplemente una n − pla

u = (k1 , k 2 , k 3 , K , k n )

deconstantes, con la propiedad de que es cierta la siguiente expresión

a1 k1 + a 2 k 2 + a 3 k + L + a n k n = b

se dice entonces que este conjunto de valores satisface la ecuación.

El conjunto de todas las soluciones se llama conjunto solución, solución general o, simplemente, la
solución de la ecuación.

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Ejemplo: la ecuación 2x − 5 y + 3 xz = 4 no es lineal debido a que el producto de dos incógnitas es de
segundo grado.

Ejemplo: la ecuación x + 2 y − 4 z + t = 3 es lineal en las cuatro incógnitas

x , y , z y t . La 4 − pla

u = ( 3, 2,1, 0 ) es una solución de la ecuación debido a que:

3 + 2 ( 2 ) − 4 (1) + 0 = 3 .

Sin embargo la 4 − pla

v = (1, 2, 4,5) no es solución de la ecuación porque

1 + 2 (2) − 4 ( 4) + 5 = 3

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o

−6 = 3 no es cierto.

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Ecuaciones lineales con una incógnita

Teorema 1.1: consideremos la ecuación lineal

ax = b

b
es una solución única de ax = b
a
2) Si a = 0 , pero b ≠ 0 , ax = b no tiene solución
3) Si a = 0 y b = 0 ,todo escalar k es una solución de ax = b
1) Si

a ≠ 0, x =Ejemplo: resolver

4x −1 = x + 6

Solución

3x = 7

Aplicando el Teorema 1.1.1

x=

7
3

Ejemplo: resolver

2x − 5 − x = x + 3

Solución

0x = 8

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Aplicando el Teorema 1.1.2

No hay solución

Ejemplo: resolver

4 + x − 3 = 2x +1− x

Solución

0x = 0

Aplicando el Teorema 1.1.3

Todo escalar

k es unasolución.

Ecuaciones lineales degeneradas

Una ecuación lineal se dice degenerada si tiene la forma,

0 x1 + 0 x 2 + 0 x3 + L + 0 x n = b

esto es, si cada coeficiente es igual a cero. La solución de tal ecuación se halla como sigue,

Teorema 1.2: consideremos la ecuación lineal degenerada 0 x1 + 0 x 2 + 0 x3 + L + 0 x n = b ,

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Álgebra Lineal1) Si
2) Si

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b ≠ 0 , la ecuación no tiene solución
b = 0 , todo vector u = (k1 , k 2 , k 3 , K , k n ) es una solución

Ejemplo: describir la solución de 4 y − x − 3 y + 3 = 2 + x − 2 x + y + 1

Solución

Reescribiendo la ecuación

0x + 0 y = 0

Ecuaciones lineales no degeneradas. Primera incógnita

Esta sección trata la solución de una sola ecuación lineal no degenerada conuna o más incógnitas,
digamos,

a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x3 + L + a n x n = b

por la primera incógnita en tal ecuación entendemos la primera con coeficiente no nulo. Su posición o
en la ecuación es entonces el menor valor entero de j para el cual a j ≠ 0 . En otras palabras, x p es la
primera incógnita si a j = 0 para j < p , pero a p ≠ 0 .

Ejemplo: Consideremos la ecuación lineal 5 y − 2z = 3 . Aquí y es la primera incógnita. Si las
incógnitas son

x , y y z , entonces p = 2 es su posición, pero si y y z son las únicas incógnitas, es

p = 1.

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Teorema

1.3:

consideremos

una

ecuación

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lineal

no

degenerada

a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x3 + L + a n x n = b con primera incógnita x p .

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