Algebra Lineal

Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

´ Algebra lineal

Buenos Aires, agosto de 2008

Prefacio
El ´lgebra lineal es una herramienta b´sica para casi todas las ramas de la matem´tica as´ a a a ı como para disciplinas afines tales como la f´ ısica, la ingenier´ y la computaci´n, entre otras. ıa o ´ Estas notas, basadas en la materia Algebra Lineal destinada a alumnos de laLicenciatura en Ciencias Matem´ticas y del Profesorado en Matem´ticas de la Facultad de Ciencias Exactas a a y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, que hemos dictado varias veces, pretenden, entre tantos buenos textos de ´lgebra lineal existentes, ser s´lo una introducci´n b´sica al a o o a tema que se ajusta a los contenidos curriculares del curso y, al mismo tiempo, una gu´ de ıa estudios paralos alumnos. Las notas no presuponen ning´n conocimiento previo de ´lgebra lineal, aunque s´ de alguu a ı nas propiedades b´sicas de polinomios a coeficientes en un cuerpo y de n´meros complejos, a u y en algunos ejercicios se utilizan estructuras que provienen de la aritm´tica elemental. Se e comienza con las definiciones b´sicas de estructuras algebraicas necesarias para definir la a noci´n deespacio vectorial, para seguir con la noci´n de subespacio, sistema de generadores o o e independencia lineal. Despu´s de dar una breve introducci´n al tema de las matrices a e o coeficientes en un cuerpo, se definen y estudian las transformaciones lineales, el espacio dual y la teor´ de determinantes. La diagonalizaci´n de matrices y la forma de Jordan de autoıa o morfismos en espacios de dimensi´nfinita se desarrollan a continuaci´n, seguidas del estudio o o de espacios con producto interno reales y complejos. El cap´ ıtulo de variedades lineales puede verse como una aplicaci´n del ´lgebra lineal a la geometr´ af´ Finalmente, se da una breve o a ıa ın. introducci´n a la teor´ de formas bilineales. o ıa

Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

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´ Indice General
1 Espaciosvectoriales 1.1 Espacios vectoriales y subespacios 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 1.4.1 1.4.2 1.5 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 5 7

Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Sistemas lineales homog´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e M´todo de triangulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e o Cantidad de soluciones de un sistema homog´neo . . . . . . . . . . . . . 17 e Sistemas lineales no homog´neos. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 e Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Bases y dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 o Subespacio suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Sistemas de ecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Independencia lineal y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 47

2 Matrices 2.1 2.2 2.3 2.4

Definiciones ypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.1 2.4.2 Coordenadas de un vector en una base . . ....