algebra lineal

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.
El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x
En R2 se define una función T mediante la fórmula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.
Unfabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.











Surge una pregunta natural: si se producecierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Seanp1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales.
Entonces se define:



Por ejemplo suponga que P= (10,30, 20, 50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de loscuatro productos? De la tabla se tiene que
r=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades
De manera similar  r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades
Y r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

En general se ve que:
oAp= r.

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T (p) = Ap. Estoes, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación  de matrices ordinaria. Como se verá, esta función es también una transformación lineal.
Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones.
En la sección 1.7 se escribió un sistema de ecuaciones como Ax=b
Donde A es una matriz de m*n,x  R” y b  R”. Se pidió encontrar x cuando  A y b se conocían. No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Entonces la ecuación Ax=b “dice”: proporcione una x en R´´ y yo le daré una b en R´´´; es decir, A representa una función con dominio R´´ e imagen en R´´´.
La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A (si  es un escalar y A(x + y) = Ax +Ay. Esta propiedad caracteriza las transformaciones lineales.

Definición 1  transformación lineal
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v  V un vector único Tv  W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar.
T (u + v) = Tu + T
            Y               
T (av)=aTv

Tres observaciones sobre notación1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función  con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional ʄ(x), que se lee “ʄ de x”.
3. Gran parte de las definiciones yteoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Ejemplo 5: La transformación identidad
Sea V un espacio vectorial y definida I: V V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio que es I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

Ejemplo 6:...