Algebra Lineal
Páginas: 14 (3339 palabras)
Publicado: 31 de agosto de 2011
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MATRICES
Una matriz de orden m.n es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma:
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Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: El primero indica la fila y el segundo la columna en que se encuentra ubicado.
Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con variasincógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.
El orden de una matriz significa su tamaño, dos matrices son del mismo orden cuando tienen el mismo tamaño (Igual numero de filas y columnas)
ÁLGEBRA DE MATRICES:
Suma y resta de matrices: Dadas dos matrices del mismoorden, A y B, la matriz A[pic]B es una matriz del mismo orden, que se obtiene sumando o restando los elementos de A y de B colocados en el mismo lugar.
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Producto por escalares: Para multiplicar una matriz A por un numero real cualquiera, multiplicamos el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.
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Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices A y B elnumero de columnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B. La matriz producto resultante (AB) tiene como elemento ij el producto escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz resultante tiene el numero de filas de A y el numero de columnas de B.
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Propiedades del álgebra de matrices:
• [pic]
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Ejemplo:
Realice (A+2B)C[pic]
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Una matriz A es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de columnas. En una matriz cuadrada, el conjunto de elementos cuyos subíndices coinciden forman la llamada diagonal principal: [pic].
Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si los elementos colocados por debajo de la diagonal principal son ceros y una matriz cuadrada se dice que es triangularinferior si los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.
A partir de una matriz A (cuadrada o no), podemos formar otra matriz llamada matriz traspuesta que se denota At y se obtiene cambiando filas por columnas en la matriz A, es decir, la fila i de A es ahora la columna i de At. Si la matriz A tiene orden m.n, At tiene orden n.m. Una matriz es simétrica si coincide con sutraspuesta (A=At) y es antisimetrica si coincide con su traspuesta cambiada de signo (A=-At).
MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada A, diremos que tiene inversa si existe una matriz cuadrada del mismo orden (A la que denotamos A-1) tal que el producto AA-1=I. La matriz inversa, si existe, es única. No todas las matrices tienen inversa; las matrices con inversa se llaman invertibles oregulares. Una matriz no invertible es aquella cuyo determinante es igual a cero.
Calculo de la matriz inversa: El método mas sencillo de usar es mediante el método de Gauss. Por este método partimos la matriz A y colocamos a su derecha la matriz identidad I del mismo orden de A. Se trata de, sin cambiar el orden de las columnas, realizar transformaciones elementales por filas en esta matriz hastaconvertir A en la matriz identidad I, mientras que la matriz I se ha transformado en otra matriz que es precisamente A-1.
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Las transformaciones elementales son:
a) Cambiar el orden de las filas.
b) Multiplicar alguna fila por un escalar diferente a cero.
c) Sumar a alguna fila una combinación lineal de las demás.
Ejemplo
Encuentre la inversa de la matriz A y verifique.( AA-1=I)[pic]
DETERMINANTES
Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas.
[pic]
Sea A una matriz cuadrada; asociada a esta existe el numero llamado determinante, simbolizado por |A| ó det(A)...
MATRICES
Una matriz de orden m.n es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma:
[pic]
Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices: El primero indica la fila y el segundo la columna en que se encuentra ubicado.
Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con variasincógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.
El orden de una matriz significa su tamaño, dos matrices son del mismo orden cuando tienen el mismo tamaño (Igual numero de filas y columnas)
ÁLGEBRA DE MATRICES:
Suma y resta de matrices: Dadas dos matrices del mismoorden, A y B, la matriz A[pic]B es una matriz del mismo orden, que se obtiene sumando o restando los elementos de A y de B colocados en el mismo lugar.
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Producto por escalares: Para multiplicar una matriz A por un numero real cualquiera, multiplicamos el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.
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Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices A y B elnumero de columnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B. La matriz producto resultante (AB) tiene como elemento ij el producto escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz resultante tiene el numero de filas de A y el numero de columnas de B.
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Propiedades del álgebra de matrices:
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Ejemplo:
Realice (A+2B)C[pic]
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Una matriz A es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de columnas. En una matriz cuadrada, el conjunto de elementos cuyos subíndices coinciden forman la llamada diagonal principal: [pic].
Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si los elementos colocados por debajo de la diagonal principal son ceros y una matriz cuadrada se dice que es triangularinferior si los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.
A partir de una matriz A (cuadrada o no), podemos formar otra matriz llamada matriz traspuesta que se denota At y se obtiene cambiando filas por columnas en la matriz A, es decir, la fila i de A es ahora la columna i de At. Si la matriz A tiene orden m.n, At tiene orden n.m. Una matriz es simétrica si coincide con sutraspuesta (A=At) y es antisimetrica si coincide con su traspuesta cambiada de signo (A=-At).
MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada A, diremos que tiene inversa si existe una matriz cuadrada del mismo orden (A la que denotamos A-1) tal que el producto AA-1=I. La matriz inversa, si existe, es única. No todas las matrices tienen inversa; las matrices con inversa se llaman invertibles oregulares. Una matriz no invertible es aquella cuyo determinante es igual a cero.
Calculo de la matriz inversa: El método mas sencillo de usar es mediante el método de Gauss. Por este método partimos la matriz A y colocamos a su derecha la matriz identidad I del mismo orden de A. Se trata de, sin cambiar el orden de las columnas, realizar transformaciones elementales por filas en esta matriz hastaconvertir A en la matriz identidad I, mientras que la matriz I se ha transformado en otra matriz que es precisamente A-1.
[pic]
Las transformaciones elementales son:
a) Cambiar el orden de las filas.
b) Multiplicar alguna fila por un escalar diferente a cero.
c) Sumar a alguna fila una combinación lineal de las demás.
Ejemplo
Encuentre la inversa de la matriz A y verifique.( AA-1=I)[pic]
DETERMINANTES
Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas.
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Sea A una matriz cuadrada; asociada a esta existe el numero llamado determinante, simbolizado por |A| ó det(A)...
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