algebra lineal

Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a

Universidad de Chile

´
MA1102-4 Algebra lineal
Profesor: Felipe C´l`ry
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Auxiliar: Benjam´ Ruiz
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Auxiliar 1
6 de Agosto del 2012Resumen:
•Dada una matriz A ∈ Mmn (R) (m filas y n columnas), se representa como:


a11 · · · a1n
 .
. , donde (A) = a ∈ R es t´rmino en la fila i y columna j.
. 
e
A= .
ij
ij
.
.
am1···

amn
l

•Dadas A ∈ Mml (R) y B ∈ Mln (R), se define el producto AB ∈ Mmn (R), tal que (AB)ij =

aik bkj
k=1

•Sea A ∈ Mnn (R) la matriz potencia se define como A0 = 0, An = AAn−1 , n ≥1
•Sea A ∈ Mmn (R) la matriz traspuesta At ∈ Mnm es tal que (At )ij = (A)ji


d1 · · · 0
 .
. 
. 
•Se define matriz diagonal diag(d1 , ..., dn ) =  . . . .
.
.
0 · · · dn
•Se define lamatriz identidad de orden n como In = diag(1, ..., 1) ∈ Mnn (R)
•Diremos que A ∈ Mnn (R) es invertible si existe A−1 ∈ Mnn (R), tal que AA−1 = In
•Diremos que A ∈ Mnn (R) es sim´trica si At = A
e•Diremos que A ∈ Mnn (R) es nilpotente si Ak = 0, para alg´n k.
u
•A ∈ Mnn (R) es triangular superior (resp. inferior) si (A)ij = 0 cuando i > j (resp. i < j )
(P1) (a) Muestre que si A ∈ Mnn (R)verifica que Ak = In , para alg´n k, entonces es invertible y determine su
u
inversa.
(b) Encuentre una matriz A ∈ M22 (R) que cumple que A = 0 ∧ A2 = 0
(c) Encuentre una matriz A ∈ M22 (R) quecumple que A2 = −I2
(P2) Sean A, B ∈ Mnn (R) invertibles tal que (In + AB) es invertible, muestre que:
(In + AB)−1 = In − A(In + BA)−1 B
n

n

(P3) Una matriz A ∈ Mnn (R) se dice semi-m´gica deconstante k si (∀i = 1, .., n)(∀j = 1, .., n)
a

aij = k

aij =
i=1

j=1

Dadas A, B ∈ Mnn (R) semi-m´gicas de constantes k1 y k2 resp., demuestre que las matrices A + B y AB
a
sonsemi-m´gicas.
a
(P4) Sea K ∈ Mnn (R) invertible, tal que K t = −K y In −K es invertible. Demuestre que si B = (In +K)(In −K)−1 ,
entonces B t B = BB t = In
(P5) Sean A, B ∈ Mnn (R) matrices nilpotentes...