Algebra Lineal

Espacio vectorial

Un espacio vectorial es una estructura matematica creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.Subespacio vectorial

Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.

Condición de existencia de subespacio
El criterio para la verificación de que S sea subespacio deV, es que ambas operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (*) con escalares delcuerpo K ) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores.Un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial,se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.
[pic]
2.S es igual o está incluido en V.
[pic]
3. La suma es ley de composición interna.
[pic]
4. El producto es ley de composición externa.
[pic]

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Del cumplimiento de las condiciones 3 y 4 puede deducirse que todos lossubespacios deben contener al cero

Combinación lineal

Un vector X se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores[pic] si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de[pic]multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar [pic], de forma que:[pic].

Así,X escombinación lineal de vectores de[pic]si podemos expresar X como una suma de múltiplos deuna cantidad finita de elementos de[pic].

Ejemplo:2x+ 3y− 2z= 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir
[pic] sin más que despejar la z.
De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto [pic] necesito para que, cuandose combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector X en cuestión.

Independencia lineal

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinacion lineal de los restantes.

[pic]

a1= a2= ··· = an= 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Base yDimension:

En un conjunto S={v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Base si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vectores entonces V es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensión infinita.

Base y Dependencia Lineal:

Si un conjunto finito S={ v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto quecontiene mas de n vectores de V es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n vectores.

Dimensión de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensión de esa base y se denota dim(V) = n.

Teóricamente la dimensión se determina alhallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensión del mismo es el numero de vectores que hay en la base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional:

Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces S es...