Algebra lineal

INTRODUCCION
En el presente trabajo les voy a hablar de la importancia de las transformaciones lineales y su aplicación. Las transformaciones lineales dentro del álgebra lineal no solo juegan un papel importante por ser casos especiales de funciones definidas sobre espacios vectoriales si no porque aparecen en diversas áreas de la matemática tanto a nivel teórico como aplicado. En los libros detexto Grossman, se aborda al álgebra lineal de modo expositivo, acerca del concepto de transformación lineal. y nos muestra muchos teoremas, ejemplos y soluciones a los diferentes sistemas de transformaciones lineales.
El descubrir que las rotaciones, traslaciones, reflexiones, proyecciones cumplen ciertas propiedades puede servir de base para introducir el concepto de transformación lineal.A) Introducción a las transformaciones lineales ( ejemplo )
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V unvector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Tres observaciones sobre notación.
1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Seescriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).
* Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llamanoperadores lineales.
* Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal.
* Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x)= mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.B) Núcleo e imagen de una transformación lineal
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:
El kernel (o núcleo) de T, denotado como ker T, está dado por
ker T = {v ∈ V: Tv = 0}
Observación. Note que ker T es no vacío ya que por el Teorema 1 de las Transformaciones lineales, T(0) = 0 de manera que 0 ∈ ker T para todatransformación lineal T. Será interesante encontrar otros vectores en V que sean "mapeados al cero". De nuevo, nótese que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V, y el 0 de la derecha está en W.
Imagen de una transformación lineal.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
imag V = { w ∈ W: w = Tv para alguna v ∈V}
Observación.El concepto imag T es simplemente el conjunto de "imágenes" de vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, diremos que w es también la imagen de v bajo T.
Teorema. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces:
i. ker T es un subespacio de V.
ii. imag T es un subespacio de W.
Demostración.
i. Sean u y v en ker T; entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(αu) =...