Algebra lineal

Noviembre del 2009

MT. María del Pilar Goñi Velez. | Cindy Noemy Cobos LlanoMatricula: 1417915 Grupo #1 |
UANL FCFM | Algebra Lineal proyecto final i |

Algebra Lineal
La asignatura como tal es una rama de las matemáticas encargada del estudio de conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales. Y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, los cualesconstan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades). Por otra parte estudia también las transformaciones lineales que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

Es un área activa que tieneconexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno(una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos.

I N D I C E
Estructuras algebraicas… 4
Grupos… 4
Tipos de grupos…5
Propiedades elementales de grupos… 6
Subgrupos… 6
Grupo abeliano… 6
Campos… 7
Anillos… 8
Espacios vectoriales… 9
Subespacios…10
Combinación lineal y espacio generado…11Independencia y dependencia lineal…13
Base de un espacio vectorial…14
Dimensión… 14
Cambio de base…16
Bases ortonormales y proyecciones en Rn … 17
Espacio con producto interno y proyecciones…19
Transformaciones lineales…22
Representación matricial de una transformación lineal…26
Isomorfismo… 27
Valores propios característicos y vectores propios característicos…28
Matrices semejantes ydiagonalización…31
Bibliografía…33

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Es un conjunto no vacio y una relación o ley de composición interna definido en el. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también hay layes de composición externa.

GRUPOS
Conjunto en el que se define una operación binaria, que satisface ciertas axiomas.

Definición: Sea una estructuraalgebraica formada por un conjunto G, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley de composición interna binaria denotada por “o” se dice que la estructura (G;o) es un grupo con respecto a la operación “o” si satisface las sig. propiedades.

* ASOCIATIVIDAD: para cuales quiera elementos del grupo no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambieel orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado.

* EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO O ELEMENTO IDENTIDAD: “comúnmente denotado como “e”, letra inicial de la palabra alemana einheit, que significa: unidad” en todo grupo existe un elemento que al ser operado con cualquier otro, no lo modifica, la unidad del elemento neutro es fácilmente demostrable.

* CERRADURA: para cualesquiera 2 elementos del grupo G operados bajo “o”, el resultado siempre permanecerá al mismo grupo G.

* ELEMENTO SIMETRICO: todos los elementos del grupo tienen un elemento opuesto (o inverso), con el que al operarse dan por resultado el elemento neutro “e”. el elemento inverso de uno es único.
Es un grupo si se cumplen:
* Que el elemento neutro sea único.
* El elemento inverso decada elemento sea único.
* El inverso de à es a, es decir (à)=a.
* El inverso de a*b es Ъ*à es decir (a*b)°-1= à*Ъ.
* La ecuación a*x=b tiene una solución única x=à*b εG.
NOTA: En la multiplicación es 1, en la adición es 0 y el inverso de x por “-x”.

TIPOS DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS (o conmutativo): se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la propiedad...