Algebra lineal

Índice General
1. Números Complejos
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. Denición y origen de los números complejos . . . . . . . . . . . . Operaciones fundamentales con números complejos Potencias de . . . . . . . . .

4
5 8 9 11

i,

módulo o valor absoluto de un número complejo

Forma polar y Exponencial de un número complejo

. . . . . . . .

Teorema de Moivre, potencias y extracción deraíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 16

1.6.

Ecuaciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Denición de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . .

17
18

Clasicación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución 20Interpretación geométrica de las soluciones . . . . . . . . . . . . . Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 24 28

3. Matrices y Determinantes
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Denición de matriz, notación, orden . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con matrices . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Clasicación de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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31 33 36 50 52 53 54

Cálculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . Denición de determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta . . . .. . .

1

2

Índice General
3.8. 3.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa 56

Solución de un sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer 58 59

3.10. Aplicación de matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . .

4. Espacios Vectoriales
4.1. 4.2. 4.3. Denición de espacio vectorial y sus propiedades . . . . . . . . . . Denición desubespacio de un espacio vectorial y sus propiedades Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. 4.5. 4.6. Base y dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades . . . . .

60
61 62

63 66 68

Cambio de base, base ortonormal,proceso de ortonormalización Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Transformaciones Lineales
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. Denición de transformación lineal y sus propiedades . . . . . . . Ejemplos de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . Denición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal La matriz de una transformación linealy representación matricial de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. 5.6. 5.7. Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . Álgebra de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . .

71
72 74 75

76 77 78 79

6. Valores y Vectores Característicos6.1. 6.2. 6.3. Polinomio y ecuación característica . . . . . . . . . . . . . . . . .

80
82

Denición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada 81

Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 84 85 86 87

6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

Diagonalización de matrices, potencias y raíces dematrices . . . . Diagonalización de matrices simétricas, Diagonalización ortogonal Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Índice General
6.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

88

Números Complejos

Unidad 1

4

1.1. Denición y origen...