Algebra lineal

´ ALGEBRA LINEAL Bernardo Acevedo. German Barco.
Departamento de Matem´ticas a Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales Febrero 2007

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Contenido
1 MATRICES 1.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.1.1 Notaci´n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Operaciones entre matrices. . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1.2.2 Multiplicaci´n de una matriz por un escalar. o 1.2.3 Multiplicaci´n de dos matrices AB . . . . . o 1.3 Otras Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Algunos tipos de matrices. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Matriz Cuadrada de tama˜o n. . . . . . . . n 1.4.2 Matriz Id´ntica. . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.3 Matriz diagonal. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Matrizescalar. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Matriz invertible o matriz no singular. . . . 1.4.6 Matriz transpuesta. . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Matriz sim´trica. . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.8 Matriz antisim´trica. . . . . . . . . . . . . . e 1.4.9 Matriz conjugada. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.10 Matriz Herm´ ıtica. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.11 Matriz Antiherm´ ıtica. . .. . . . . . . . . . 1.4.12 Matriz involutiva. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.13 Matriz Idempotente. . . . . . . . . . . . . . 1.4.14 Matriz ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.15 Matriz triangular superior. . . . . . . . . . 1.4.16 Matriz triangular. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.17 Matriz elemental. . . . . . . . . . . . . . . 1.4.18 Matriz semejante. . . . . . . . . . . . . . .1.4.19 Matriz de Probabilidad. . . . . . . . . . . 1.4.20 Matriz escalonada y escalonada reducida. . iii 1 1 1 2 2 3 5 7 7 7 8 8 8 9 9 10 11 12 13 13 14 14 14 15 15 16 16 17 17

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CONTENIDO 1.4.21 Algunos m´todos para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 18 e 1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS CAPITULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 DETERMINANTES. 27 2.1 Propiedades del determinante. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 30 2.2 EJERCICIOS PROPUESTOS CAPITULO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 SISTEMAS DE ECUACIONES. 3.0.1 Soluci´n del sistema Ax = b. . . . . . . o 3.1 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Balance de reacciones quimicas . . . . 3.3 EJERCICIOS PROPUESTOS CAPITULO 3 43 44 48 51 51 53

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4 VECTORES 4.1 Propiedades de los vectores . . . . . . . . . . . 4.2 Operaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Suma de vectores. 62 4.4 Resta de vectores: . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5Multiplicaci´n de un vector por un n´mero real. o u 4.6 Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Propiedades de la norma de un vector. . 4.7 Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Producto Cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13

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. . . . . . . Con α ∈ R . . . . . . ....