Algebra lineal

Autor: Alberto Alejandro Maciel Domínguez
ALGEBRA LINEAL
UNIDAD I.
I.- Ecuaciones de primer grado (simultáneas)
1.- Sustitución.
2.- Igualación.
3.- Sumas y restas.
4.- Determinantes.
II.- Ecuaciones de primer grado de tres o más incógnitas.
1.- Método de reducción.
2.- Método de determinantes.
3.- Aplicación del método de Sarrus y
Kramer.
UNIDAD II.
Matrices.
1.- Definición.
2.-Suma de matrices.
3.- Resta de matrices.
4.- Teoremas.
5.- Multiplicación de matrices.
6.- Producto de una matriz.
UNIDAD III
Inversas.
1.- Inversa de una matriz cuadrada
2.- Matriz identidad.
3.- Determinación de un determinante.
4.- Obtención de la inversa.
5.- Resolución del determinante por el
método de menores.
6.- Propiedades de las matrices.
7.- Cofactores.
8.- Inversa de unamatriz.
9.- Inversa de una matriz por el método de la adjunta.
UNIDAD IV.
Método de solución.
1.- Método de Gauss.
2.- Propiedades de la determinante.
3.- Método de Gauss-Jordan.
UNIDAD V.
Solución y aplicación de problemas y espacios vectoriales.
1.- Ecuaciones simultáneas de primer grado con 3 incógnitas por el método de Gauss y de
Gauss-Jordan aplicado a problemas de contabilidad yadministración.
2.- Problemas de ecuaciones simultáneas de 4 incógnitas de primer grado por el método de
Gauss-Jordan.
3.- Espacios vectoriales.
4.- Propiedades.
5.- Resolución de ecuaciones para ver si son espacios vectoriales.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos variables por este método
se siguen los siguientes pasos:
PASO 1: Despejamos una delas variables de una de las ecuaciones.
PASO 2: La sustituimos en la otra ecuación y resolvemos para encontrar el valor
de la variable que corresponde.
PASO 3: Sustituimos dicho valor en la ecuación del Paso 1 y resolvemos para
obtener el valor de la otra variable.
PASO 4 : Comprobamos sustituyendo los valores en ambas ecuaciones.
EJEMPLO # 1:
3x + 5y = 7 ---- ecuación 1
2x - y = -4 ----ecuación 2
a) Despejamos una de las ecuaciones
Tomamos la ec. 2
2x - y = 4
2x= 4 - y
x =4 - y ----ecuación 3
2
b) Sustitución de la ecuación 3 en la 1
3(-4 + y ) + 5y = 7
2
-12 + 3 y + 5y = 7
2
-12 + 3y + 10y = 14
13y = 14 + 12
13y = 26
y = 26/ 13
y = 2
c) Sustituimos el valor “ y “ en ecuación 3
x = 4 - 2 x = - 2 x = -1
2 2
Comprobación
3(-1) + 5 (2) = 7 2(-1) - 2 = 4
-3 +10 =7 -2 - 2 = 4
7 = 7 4 = 4
Ejemplo # 2:
Por método de sustitución:
3x + 2y = 8 ---- ecuación 1
6x - 5y = 4 ---- ecuación 2
a) Despejamos una de las ecuaciones
Tomamos la ecuación 1
3x + 2y = 8
3x = 8 - 2y
x = 8 - 2y ----- ecuación 3
3
b) Sustituimos ecuación 3 en la 2
6 ( 8 - 2y) - 5y = 4
3
48 - 12y - 15y =12
-12y - 15y = 12 - 48
27y = -36
y = -36 = y =14
27 3
c) Sustituimos elvalor de “y” en ecuación 3
x = 8 -2 (12)
3 9
x = 8 - 24
3 9
x = 48/9 = 48 = x = 16
3 27 9
Comprobación
3(-16) + 2 (2) = 8 6 (16) - 5 (14) = 4
3 9 3
-48 + 24 = 8 96 - 20 = 4
3 9 3
-16 + 24 = 8 96 - 60 = 4
8 = 8 9
36 = 4 4=4
9
Ejemplo # 3
Por método de sustitución
3x + 2y = 6 ---- ecuación 1
-3x + 6y = 4 ---- ecuación 2
a) Despejamos una de las ecuaciones
Tomamos la ecuación 2-3x + 6y = 4
- 3x = 4 - 6y
x = 4 - 6y ---- ecuación 3
3
b) Sustitución de la ecuación 3 en la 1
3 (4 - 6y) + 2y = 6
3
12 - 18y + 6y =18
18y + 6y = 12 + 18
24y = 30
y = 30 = y = 5
24 4
c) Sustituimos el valor de “y” en ecuación 3
x= -2 (5/4) + 6
3
x = (10/ -4) + 6
3
x =-10 + 6 = -10 +24 = 14 = 7
12 3 12 6
x = 7
6
Comprobación
3x + 2y = 6 -3(7) + 6 (5) = 4
3( 7 ) + 2 (5) = 6 64
6 4 -21 + 30 = 4
21 + 10 = 6 6 4
6 4 -42 + 90 = 48
42 + 30 = 72 48 = 48
72= 72
EJERCICIOS:
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.
a) 3x + 5 = 3
2x + 5y =5 Sol. x=-2, y =19
3 15
b) 5a -2b = -23
-8a + 3b= 18 Sol. a= 33 , b=94
c) 9r + 4t = 15
13r + 8t = 5 Sol. r=5 , t= -15
2
d) 18w + 12z = 0
-14w + 16z = 19 Sol. w= -1, z= 3
2 4
e)...