Algebra Lineal

GUIA DE ESTUDIO
ÁLGEBRA LINEAL
TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES

Profa. M. I. Norma Patricia López Acosta

1) LOS NÚMEROS
El sistema de números reales consiste en un
conjunto R de elementos llamados números
reales y dos operaciones denominadas: adición
y multiplicación, que se denotan con los
símbolos + y ⋅ , respectivamente. Si a y b son
elementos del conjunto R, entonces a+b denota
lasuma de a y b; también a⋅b (ó ab) indica su
producto. La operación de sustracción se define
mediante: a + (− b ) = a − b , donde –b representa
el negativo de b tal que, b + (− b ) = 0 . La
operación de división se define con la ecuación:
a ÷ b = a ⋅ b −1 ; b ≠ 0 , donde b-1 representa el

recíproco de b, tal que b ⋅ b −1 = 1 . Un número
real puede ser negativo, positivo o cero.
Cualquiernúmero real se puede clasificar como
racional o irracional.
Un número racional Q es cualquier número que
se puede expresar como la razón de dos enteros.
Es decir, un número racional es un número de la
forma p/q donde p y q son enteros y q ≠ 0. Los
números racionales comprenden a los siguientes:
• Los enteros Z: son números racionales
con denominador igual a 1 (p/q = p/1 =
p), pueden serpositivos, negativos y
cero:
. . .,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
• Los naturales N: son números enteros
pero todos positivos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
• Fracciones positivas y negativas, tales
como:
2 4 83
. . ., ,− , , . . .
7 5 5
• Los decimales conmensurables positivos
y negativos, tales como:

•

3251
236
= 2.36 , −
= −0.003251
100
1000000
Los
decimalesinconmensurables
periódicos positivos y negativos, tales
como:
61
1
= 0.333.... −
= −0.549549549....
3
111

Los números irracionales son decimales
inconmensurables y no periódicos, tales como:
3 = 1.732....

π = 3.14159....

Los números complejos C se expresan
generalmente en la forma a +bi, donde a y b son
números reales, i es la llamada unidad
imaginaria, que se caracteriza portener la
propiedad de que i2=-1.
2) ESPACIO VECTORIAL

Espacio vectorial es un conjunto constituido por
un número infinito de vectores, para los cuales
se han definido las operaciones de adición y
multiplicación por un escalar, y además, están
definidos sobre un determinado campo k.
Esquemáticamente puede representarse como:

El campo k puede referirse a alguno de los
siguientesnúmeros:

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•
•
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•

Tema 2. Espacios Vectoriales

Complejos
Reales
Racionales
Irracionales
Enteros
Naturales

Los vectores v1 , v 2 ,..., v n pueden tener distintas
formas, por ejemplo:

R2: v = ( x, y ) → vector en dos dimensiones.

R3: v = ( x, y, z ) → vector en tres dimensiones.
⎡a b ⎤
M2: v = ⎢
⎥ → matriz cuadrada de 2×2.
⎣c d ⎦

Para que undeterminado conjunto sea un
espacio vectorial, debe satisfacer los siguientes
10 axiomas:

(

) ( )

)

3) SUBESPACIOS VECTORIALES

OBSERVACIONES:
• Las operaciones de adición y
multiplicación por un escalar para estos
conjuntos, generalmente no son las
usuales.
• Al resolver un problema, en cada axioma
se debe escribir si se cumple o no se
cumple; y al final del problema, si elconjunto es o no un espacio vectorial.

1. Cerradura para la suma:
u + v ∈V
2. Propiedad conmutativa de la suma:
u+v = v+u
3. Propiedad asociativa de la suma:
u+ v+w = u+v +w
4. Existencia de vector neutro e :
e + u = u → por la izquierda
u + e = u → por la derecha

(

( )

P: v = ax 2 + bx + c → polinomio de grado
menor o igual a dos.
F: v = f ( x ) → función de cualquier forma.Sean V un determinado conjunto; y u, v, w
vectores que ∈ V.

5. Existencia de inversos aditivos z :
z + u = e → por la izquierda
u + z = e → por la derecha
6. Cerradura para la multiplicación:
αu ∈ V
7. Propiedad distributiva de la multiplicación
para la suma de vectores:
α u + v = αu + α v
8. Propiedad distributiva de la multiplicación
para la suma de escalares:
(α + β)u = αu + βu...