algebra lineal

Álgebra Lineal
Números Complejos
Los números complejos son aquellos números que están compuestos por una parte real y una
imaginaria. Estos números elaboran el concepto recta numérica 1-D hacia el plano complejo 2D
con la ayuda de una recta numérica para trazar la parte real del número y para sumar el eje
vertical a fin de mostrar la parte imaginaria. Por lo tanto, en naturaleza los númeroscomplejos
contienen los números reales extendidos, lo cual resulta útil al resolver un problema que podría
ser difícil si utilizáramos solamente los números reales.

La aplicación de números complejos está incluida en una amplia gama desde el
electromagnetismo, la ingeniería, las matemáticas aplicadas, la física cuántica, hasta la teoría del
caos.
La idea principal detrás del uso de losnúmeros complejos es resolver las ecuaciones
correspondientes que no tienen ninguna solución real. Ejemplo: Imaginemos la ecuación . Dado
que la variable x es cuadrada, no puede ser negativa o cero y, por tanto, la ecuación
correspondiente no tiene ninguna solución real. Estos tipos de problemas pueden resolverse con
la ayuda de los números complejos. La idea principal es introducir la variablecompleja „i‟ cuyo
valor después de elevarse al cuadrado es −1. Por lo tanto, x = -i y x = I son las dos soluciones
correspondientes de la ecuación.
Ahora definamos el concepto. Se puede definir un número complejo como una expresión del tipo:
aquí b y a son la parte real del número, mientras que I es la parte imaginaria. La parte real e
imaginaria se denota en general como Re(z) and Im(z)respectivamente.
Incluso un número real normal puede ser considerado como un número complejo que no tiene su
parte imaginaria o cuya parte imaginaria es igual a 0. Es decir, a + 0i.
Con el fin de ver el número complejo, se utiliza un diagrama de Argand o el plano complejo. Sin
embargo, sólo puede verse en forma de un vector de posición o un punto. En el plano complejo, la
parte real del númerocomplejo se traza en la parte horizontal, mientras que la parte imaginaria se
traza en el eje vertical.

Un vector de posición consta de dirección y magnitud. Existen ciertas operaciones que pueden
realizarse en los números complejos. Estas son:

1). Conjunción: Para una expresión de la forma z = x + yi, el conjugado se representa como x − yi.
Generalmente, el conjugado del número serepresenta como . , lo cual significa que la Z es
“reflejada” de acuerdo al eje real.

2). Suma y Resta: La suma al igual que la resta de números complejos se realiza sumando o
restando las partes reales e imaginarias por separado. Esto es, para la suma:

Asimismo, para la resta:

3). Multiplicación: En el caso de la multiplicación, la fórmula se convierte en:

4). Raíz cuadrada: En la raízcuadrada, la expresión a + bi puede escribirse de la forma:
. Aquí,

y

y sgn denota la función signo. La forma
se conoce como el módulo de la expresión a + bi
donde la raíz cuadrada que consiste de la parte real positiva se denomina principio de la raíz
cuadrada.

Definición y origen de los números complejos
Un número complejo es un número con la estructura x + iy. Aquí x es la parte realdel número, y es
la parte imaginaria del número e i significa imaginario. El valor del cuadrado de i es igual a −1. El
número imaginario i es uno de los dos número que cumple con la regla (i) 2 = −1, el otro número es
-i. Formalmente, escribimos 𝑖 = −1. Un número complejo z se escribe como
z = x + iy
donde “x” e “y” son números reales. Llamamos a “x” la parte real de “z” y “y” la parteimaginaria y
escribimos x = Rez, y = Imz.
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales. El
complejo conjugado de z = x + iy, denotado como 𝑧, es definido como
𝑍= x - iy
El uso de números complejos comenzó mucho antes que estos se definieran formalmente.
Antes no se solía usar el concepto de números complejos, porque si un número se elevaba al...