algebra lineal

ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES.
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numerocomplejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v) esreal, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio conproducto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma desen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.
Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales enC2
En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque
BASE ORTOGONAL Y BASE ORTONORMAL
Descripción: 
Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la formanson perpendiculares dos a dos.
Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios

BASE ORTONORMAL
En álgebra lineal, una base ortonormal deun espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que loselementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una baseortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así,...