Algebra Lineal

UNIDAD I
MATRICES Y DETERMINANTES

Introducción
Las matrices aparecen por primera vez en el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en elcálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes deprogramación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.
1. DEFINICION DE MATRIZ Y TIPO DE MATRICES.
1.1. Definición de matriz
Una matriz es un arreglo ordenados rectangular o cuadrado de elementos reales, complejo, etc. En forma de filas y columnas, se representa mayormente con letras mayúscula A,B, C,…….
Ejemplo:
[pic] [pic]
La notación mas usadas para las matrices es:
[pic] ; [pic]
Si: [pic]
Vamos a representar de la siguiente forma: [pic] donde:
[pic] = Indica la posición de los elementos de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).
O sea: [pic]
La forma y/o orden de una matriz.- La forma y orden de una matriz es el tamañode la matriz y está definido: número de fila por el número de columna.
Ejemplo:
[pic]
Columna
a) Determinar el orden
b) Hallar los elementos indicados de la matriz A: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]
Solución:
a) Su orden es: [pic] y/o [pic]; como se observa la matriz A es de 3 fila y 4 columna.
b) [pic]= Será el elemento de la fila 2 y columna 2 = 2
[pic]= 5; [pic]= 7;[pic]= 10 y [pic]= Este elemento no existe ya que la matriz es de orden de 3x4
1.2. TIPOS DE MATRICES
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
1.2.1. Matriz Fila: Es aquella que tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.
[pic]
Ejemplo
[pic]
1.2.2. Matriz Columna: Esaquella que tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x1.
[pic]
Ejemplo
[pic]
1.2.3. Matriz Nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por la letra “0”.
Ejemplos
[pic]
1.3. TIPO DE MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n x n.Ejemplo

[pic] Matriz cuadrada

Nota: Solo las matrices cuadradas tienen diagonal principal y secundaria y no las matrices rectangulares.
1.3.1. Matriz Transpuesta: La transposición de una matriz A es una operación que consiste en colocar las filas de A en forma de columna, respetando su orden. De esta manera se obtiene otra matriz que se llamará la transpuesta de A y serepresentará por At.
Ejemplo
[pic]
Nota: Para hallar la transpuesta de una matriz, solo se cambian filas por columnas.
Propiedades:
1. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única.
2. (At) t = A.
1.3.2. Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji.
Ejemplos
[pic]
Podemos afirmar que la matriz A es una Matriz Simétrica1.3.3. Matriz Antisimetrica: Una matriz cuadrada es antisimetrica si A = –At, es decir, si aij = –aji.
Ejemplos
[pic]
Teorema 1.
Una matriz A de orden n x n se puede descomponer en la suma de dos matrices una simétrica y la otra antisimetrica: [pic]
Donde:
[pic] y [pic]
1.3.4. Matriz Triangular.
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado...