Algebra Lineal

Álgebra lineal
Luis

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Oré

Luján

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Serie: Cuadernos de Ingeniería Administrativa e Ingeniería Industrial

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Álgebra
lineal

LUIS ORÉ LUJÁN

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primera

UNIDAD
Números complejos
1. Números complejos
2. Operaciones con números complejos
3. Conjugado de un número complejo
4. Igualdad de números complejos
5. Representación geométrica de números complejos
6. Módulo de un número complejo
7. Propiedades del valor absoluto de los números complejos
8. Forma trigonométrica o polar de un número complejo
9. Ejercicios
10.Teoremas de Moivre
11. Exponencial compleja
12. Propiedades de la exponencial compleja
13. Ejercicios
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1. Números complejos
Definición: Se dice que un número Z es complejo, si se puede expresar en la forma:
Z=

α

+ βi, donde

α,

ℜ

βЄ

y i=

−1Notas.
1. Se conoce como forma estándar, rectangular o binómica, al número complejo:
Z=

α

+ βi, donde

α,

βЄ

ℜ

y i=

−1

2. Si β = 0, el número complejo Z se conoce también como número real.
Ej. Z = 2 , es un número real.
3. Si

α

= 0 y β ≠ 0, el número complejo Z se conoce también como número imagi-

nario puro o complejo puro.
Ej. Z = 5 i , es un número complejopuro.
4. El número real α se conoce como parte real de Z y se denota Re (Z), y el número
real β se conoce como parte imaginaria de Z y se denota Im(Z); así :
Z=

α

+ βi

↔

Re (Z) =

α

∧ Im(Z) = β

Ej. Z = 2 – 5i ↔ Re (Z) = 2 ∧ Im(Z) = – 5
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ÁLGEBRA LINEAL

2. Operaciones con números complejos
2.1 Sumaalgebraica
Definición: Dado los números complejos:
Z1 = a + bi , Z2 = c + di
Su suma Z1 + Z2 , se halla así:
Z1 + Z2 = (a + bi ) + (c+ di )
= (a + c ) + (c+ d )i

2.2 Propiedades de la suma de números complejos
En números complejos se verifican las siguientes propiedades:
1. Propiedad de clausura: Z1 + Z2 Є C ,

∀Z

1,

2. Propiedad conmutativa: Z1 + Z2 = Z2 + Z1 ,

Z2 Є C.

∀Z

1,Z2 Є C.

3. Propiedad asociativa: (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3) ,

∀Z

1,

Z2 , Z3 Є C.

4. Propiedad de existencia y unicidad del elemento neutro aditivo:

∀ ZЄ

C,

∃! W Є

C/Z + W = Z

En este caso el número complejo W se denomina elemento neutro aditivo.
La notación
5.

∃ ! W significa que existe el número complejo W y que es único.

Propiedad de existencia yunicidad del elemento inverso aditivo:

∀ ZЄ

C,

∃! – Z

Є C / Z + (–Z) = 0 + 0i.

Ejercicio:
Mediante un ejemplo, verifique las propiedades de la suma de números complejos.

2.3 Multiplicación
Definición: Dados los números complejos:
Z1 = a + bi, Z2 = c + di , el producto Z1 · Z2 se halla así:
Z1 · Z2 = (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bd

i2

= ac + adi + bci – bd
= (ac–bd)+ (ad + bc)i
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LUIS ORÉ LUJÁN

2.4 Propiedades del producto de números complejos
En números complejos se verifican las siguientes propiedades:

∀ Z , Z Є C: Z · Z Є C
2. Propiedad conmutativa: ∀ Z , Z Є C: Z · Z = Z · Z
3. Propiedad asociativa: ∀ Z , Z , Z Є C: (Z · Z ) · Z = Z ·(Z · Z )
4. Propiedad distributiva: ∀ Z, Z , Z Є C: Z ·( Z + Z ) = Z · Z + Z
1. Propiedad de clausura:

1

2

1

1

1

2

2

1

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

1

3

2

1

2

3

1

3

2

1

· Z3

5. Propiedad de existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo:

∀ Z Є C, ∃ ! u Є

C / u · Z = u, donde u= 1+ 0i

6. Propiedad de existencia y unicidad del inverso...