algebra lineal

A L G E B R A L I N E A L,
ALGEBRA MULTILINEAL
Y
K-TEORIA
ALGEBRAICA CLASICA

EMILIO LLUIS-PUEBLA
Universidad Nacional Aut´noma de M´xico
o
e

2008 Segunda Edici´n: Sociedad Matem´tica Mexicana,
o
a
Publicaciones Electrnicas
ISBN 968-9161-31-8 (versi´n en l´
o
ınea)
ISBN 968-9161-32-6 (versi´n en CD)
o
ISBN 968-9161-33-4 (versi´n en papel)
o
1997 Primera Edici´n: SistemasT´cnicos de Edici´n, S.A. de C.V.
o
e
o
San Marcos, 102. Tlalpan 14000 M´xico, D.F.
e
c 1996 Emilio Lluis-Puebla
Obra compuesta y formada en TEX por Flor de Mar´ Aceff S´nchez
ıa
a
Hecho en M´xico.
e
ISBN 970-629-149-0
Sistemas T´cnicos de Edici´n
e
o
ABCDEFGHIJKL-M 9987

INDICE GENERAL

Prefacio

v

Introducci´n
o

1

Cap´
ıtulo I
Conceptos Fundamentales
I.1
I.2I.3
I.4
I.5

Espacios vectoriales y funciones lineales
Subespacios vectoriales
Espacios vectoriales de dimensi´n finita
o
Aplicaciones
La matriz asociada a una funci´n lineal
o

21
27
35
42
47

Cap´
ıtulo II
Vectores Caracter´
ısticos y Formas Can´nicas
o
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5

Valores y vectores caracter´
ısticos
Teorema de Cayley-Hamilton
El polinomio m´
ınimoForma can´nica triangular
o
Forma can´nica de Jordan
o

55
62
67
70
77

iv

Indice general

Cap´
ıtulo III
Formas y Operadores
III.1 Formas bilineales
III.2 Formas bilineales, sim´tricas, alternantes, cuadr´ticas
e
a
y hermitianas
III.3 Producto escalar
III.4 Operadores adjuntos
III.5 El teorema espectral

87
97
103
109
114

Cap´
ıtulo IV
Algebra Multilineal yK-Teor´ Algebraica Cl´sica
ıa
a
IV.1
IV.2
IV.3
IV.4

Producto tensorial
Producto exterior
Estructuras algebraicas
K0 y K1

121
128
135
141

Ap´ndice
e
Notas Hist´ricas
o

151

Bibliograf´
ıa

173

Lista de S´
ımbolos

175

Indice Anal´
ıtico

177

PREFACIO

La mayor´ de los textos de Algebra Lineal que se encuentran en nuestro pa´ en
ıa
ıs,
espa˜ol, sontraducciones de textos en ingl´s dirigidos a estudiantes de diversas
n
e
disciplinas (Psicolog´ M´sica, Medicina, etc., para los cuales es obligatorio curıa, u
sar Algebra Lineal). Por lo tanto, dichos textos no poseen el enfoque que deben
tener para estudiantes de las carreras de Matem´ticas o F´
a
ısica, por mencionar algunas. Los textos en otros idiomas dirigidos exclusivamente aestudiantes de F´
ısica o
Matem´tica son escasos y en espa˜ol lo son a´n m´s. Es as´ que nuestra intenci´n
a
n
u
a
ı
o
es la de proveer a los estudiantes de carreras cient´
ıficas de un enfoque serio, fundamentado y moderno del Algebra Lineal. Hemos incluido el Algebra Multilineal,
tema excluido de los programas usuales pero que nosotros pensamos que es de importancia fundamental, as´ como lanotaci´n que se utiliza en f´
ı
o
ısica para tensores.
No se ha descuidado el aspecto computacional, al contrario, se incluyen diversos
ejercicios de c´lculo expl´
a
ıcito. Sin embargo, han sido incluidos una gran cantidad de problemas interesantes que preparan al estudiante para realmente darle la
oportunidad de crear matem´ticas. Todos ellos se resuelven utilizando el material
aexpuesto. Como consecuencia del trabajo de resolverlos, le brindan al estudiante la
oportunidad de redactar matem´ticas.
a
Suponemos que el lector est´ familiarizado con algunos de los temas b´sicos del
a
a
Algebra Superior, es decir, que ya conoce y maneja estructuras algebraicas como
I Q , I C , C [x], la definici´n de campo, y ha trabajado num´ricamente con
N, I R, I I
o
e
matrices,determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Es conveniente que haya
conocido los espacios vectoriales I n sobre el campo I
R
R.
Este libro est´ dise˜ado para un curso de un a˜o (dos semestres, estudiando los
a
n
n
cap´
ıtulos I y II en el primero y los cap´
ıtulos III y IV en el segundo; o bien, haciendo

vi

Prefacio

modificaciones adecuadas, como por ejemplo, el cap´
ıtulo I,...