Algebra lineal

APUNTES DE MATEMÁTICAS III
(ALGEBRA LINEAL)

UNIDAD I. NÚMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIÓN.

Definición. Un número complejo es un número de la forma

a + bi

donde a y b son números reales e i es la llamada unidad imaginarios, con la propiedad de que i2 = -1.

Entonces,

| | | | | | | | | | |

Son números complejos.

Por conveniencia se usa la variable z pararepresentar a un número complejo.

Si z = , recibe el nombre de parte real de z y se denota por Re z, b se llama parte imaginaria de z y se denota por Im z.

Dos números complejos y son iguales si y solamente si y .

Si , entonces el conjugado de , denotado por se define como .

Se dan nombres especiales a algunas clases particulares de números complejos, como son:

NÚMEROS REALES ||
NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS | |
CERO | |
UNIDAD IMAGINARIA | |
CONJUGADO EN | |

Se observa por consiguiente, que todo número real es un número complejo; es decir, los números reales forman un subconjunto del conjunto de número complejos.

Plano complejo. Un número complejo z se puede representar como un punto en un plano . El punto del plano representara el número complejo , esdecir el número cuya parte real es y cuya parte imaginaria es b.

El valor absoluto de z, escrito , se define como la distancia de z al origen.

=

Eje real
Eje Imaginario
Eje real

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS.

Al efectuar operaciones con números complejos, se procede como en el algebra de números reales, reemplazando por .

1. Adición.

2.Sustracción.

3. Multiplicación.

4. División.

Ejemplos

1. Realizar las siguientes operaciones y escribir la respuesta en la forma .

a)
2-4i+7+2i=2-4i+7+2i=2+7-4i+2i=9-2i

b)


c)

Se multiplica por el conjugado del denominador
(a+b)(a-b)=a2-b2
d)


2. Escribir cada expresión en la forma .

a)
;


b)


c)


d)


Ejercicios

1.Realizar las siguientes operaciones y escribir la respuesta en la forma .

a)
b)
c)
d)

2. Escribir cada expresión en la forma .

a)
( ) ; ( )
( ) - ( ) =

b)


c)


d)


3. Dado . Hallar:

a)


b)



x
y
r
| Si Si |

x
y
r
| |
s=r

r
| |

Por regla de 3 Si π=180° a cuánto equivale 90°

π =180°y=90°y=π(90°)180°=π2

Para convertir de grados a radianes multiplicamos los grados a convertir por π y dividimos entre 180.
Para convertir de radianes a grados multiplicamos los radianes a convertir por 180 y dividimos entre π.

| | |
| | |



a
a
c
c
b
| ; ; Si ; ; |
a
a
c

| | |
TRIÁNGULOS ESPECIALES |


2a
a
a
| si 1

2

| si

1|
| | |
a
a
a

| si a = 11
1

| si

|

1.3 FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS.

Sea P un punto correspondiente al número complejo o , entonces:
x
y
Eje real

, ,

Donde se llama módulo o valor absoluto de y se denota por mod z o .
El ángulo se llama amplitud o argumento de denotado por .
Por lo que

Es la forma polar del numero complejo r se llamancoordenadas polares.
Para simplificar la notación, expresamos en la forma .

1.3 ELEVACIÓN A POTENCIA Y EXTRACCIÓN DE LA RAÍZ DEL NÚMERO COMPLEJO.

TEOREMA DE MOIVRE.

Si y


Si tenemos que las formulas de adición y sustracción son:
;

Generalizando

y si , la expresión anterior queda

que se llama frecuentemente como el teorema De moivre.

RAÍCES DENÚMEROS COMPLEJOS.

Un número es llamado una raíz n-esima de un número complejo , escribiendo , del teorema de De Moivre, si n es un entero positivo


Ejemplos

1. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma polar.

x
y

a)

Valor absoluto

Amplitud o argumento
;

Entonces:



b)

Valor absoluto

Amplitud o argumento

Entonces:...