Algebra lineal

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA
INGENIERIA CIVIL
Algebra Lineal
GRUPO 2C1

SEMESTRE ENERO-JUNIO 2012

PROFESOR: Felipe Santiago Ramos Varguez

Alejandro Gamboa Ribón
Matricula: E11080970

Índice
I. Espacio vectorial
1.1 Motivación y definición
1.2 Definición formal
1.3 Notas y definición alternativa
1.4 Propiedades del espacio vectorial
1.5 Espacio de coordenadas y de funciones1.6 Ecuaciones lineales
1.7 Teoría de números algebraicos
1.8 Aplicaciones lineales y matrices
1.9 Matrices
1.10 Vectores y valores propios
1.11 Construcciones básicas
1.12 Espacios vectoriales con de estructura adicional
1.13 Espacios vectoriales topológicos

II. Subespacio vectorial
2.1 Definición
2.2 Condición de existencia de subepacio
2.3 Operaciones con subespacios
2.4Dimensiones de subespacios

III. Dependencia e independencia lineal
3.1 Definición
3.2 Significación geométrica
3.3 Método alternativo usando determinantes

IV. Base y dimensión de un espacio vectorial
4.1 Definición
4.2 Base de Hamel y de Hilbert
4.3 Dimensión vectorial

V. Espacio con producto interno y sus propiedades

VI. Cambio de base y base ortonormal

I. Espacio vectorial
1.2Motivación y definición
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se lesllama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636,los matemáticos francesesDescartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajohizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.
La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobrela convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilberttienen una teoría más rica y elaborada.
El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es unsegmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien tambiéndefinió los sistemas de ecuaciones lineales.

1.2 Definición formal
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
 
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
 
3) tenga elemento...