algebra lineal

Álgebra Lineal
Taller No 2 con Matlab

Tema: Introducción a las transformaciones lineales. Determinantes. Valores y vectores propios
de matrices de orden n:Diagonalización de matrices de orden n. Aplicación a sistemas de ecuaciones
en diferencias. Ortogonalidad en Rn : Proceso de Gram Schmidt y factorización QR: Diagonalización
ortogonal.
Diseñado por Rosa Franco Arbeláez.
Para losejercicios 1, 2, 3, 4, 6 y 7, generar números aleatorios a; b; c; d; m; y n y utilizarlos para
resolver cada uno de dichos ejercicios. En el ejercicio 5 de dan datos …jos.
Ejercicio 1

1
ax bz + (a + 2) y
x
B cx + 2cy + (b + c) z C
C.
Considere la transformación lineal S : R3 ! R4 de…nida por S @ y A = B
@
2ay + 3bz dx A
z
bx + cy + dz
Encuentre:
a) La matriz de S con respecto a las basesestándar de R3 y R4 .
1
0
m
b) La imagen del vector @ n A bajo la transformación S.
d
c) La imagen del plano con ecuación y = nx + mz bajo S.
0

1

0

Ejercicio 2
a) Sea P : R3 ! R3 la transformación proyección sobre la recta con ecuaciones simétricas
= y = z : Encuentre la ley de asignación de P .
b
c
b) Sea QU : R3 ! R3 la transformación proyección sobre el plano que pasa porel origen y tiene
1
0
a=2
como vector normal el vector U = @ b A :Encuentre la ley de asignación de QU .
c
c) Halle la ley de asignación de la transformación RU : R3 ! R3 ;que representa la re‡
exión con
respecto al plano que pasa por el origen y tiene como vector normal el vector U dado en b):
d) Encuentre la matriz de la transformación rotación por un ángulo de 3 alrededor del eje z ycalcule la imagen del vector U dado en b) bajo dicha transformación.
2x
a

Ejercicio 3
Para cada una de las siguientes transformaciones lineales determine si es invertible y, en caso
a…rmativo, encuentre la ley de asignación de su inversa.
0
1 0
1
x
ax
a) T @ y A = @ by + cz A
z
bz cy

1

0

1 0
x
b) T @ y A = @
z
(2c

ax + by + cz
dz + my + nx
d) z + (2a n) x + (2bm) y

1
A

Ejercicio 4
0
1
a b
c
d
B b
a
d m C
C,
Si A = B
@ c
d
n a A
d m
a
b
a) Encuentre el polinomio característico de A:
b) Encuentre los eigenvalores y los eigenespacios de A:
c) Determine si A es similar a una matriz diagonal.
d) ¿Existirá una base para R3 formada por vectores propios de A?:En caso a…rmativo, halle una
de tales bases.
e) Encuentre, si es posible,una matriz invertible P y una matriz diagonal D tales que A = P DP 1
f ) Encuentre, si es posible, una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal tales que A = Q QT :
Ejercicio 5
Un banco que tiene dos sucursales D y E en una ciudad, mantiene una política de rotación anual
del personal, te tal forma que cada año las dos terceras partes del personal de la sucursal D se traslada
a la sucursal Ey la mitad de los empleados de la sucursal E se traslada a la sucursal D.
Suponiendo que inicialmente se tenían 420 empleados en la sucursal D y 630 en la sucursal E,
determine el número de empleados que habrá, a largo plazo, en cada sucursal.
Ejercicio 6
9
80
1
> x
>
>
>
=

> z A
>
>
;
:
w
a) Halle una base para H ?
b) Exprese el complemento ortogonal de H medianterestricciones sobre las componentes de sus
vectores.
c) Si A es la matriz cuyas columnas son los elementos de la base ; en su orden, halle la factorización
QR de la matriz A:
d) Halle una base ortonormal para H ? :
e) Calcule la matriz de proyección ortogonal sobre H:
0
1
a
B b C
?
C
f ) Encuentre las componentes ortogonales del vector e = B
@ c A sobre H y H son respectivad
mente:
g) Calculela distancia del vector e al subespacio H:
Ejercicio 7

0

1
0
1
a
b
v2 = @ a A ;
Dados los vectores v1 = @ b A ;
a
0
es la matriz cuyos valores propios ( eigenvalores) son m y
2

0

1
a2
A ; suponga que A
ab
v3 = @
2
2
a +b
n y sus respectivos espacios propios

(eigenespacios) son: para m el espacio generado por v1 y para
v2 y v3 :

n el espacio generado por los...