algebra lineal

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Algebra Lineal
Dra. Mar´ Teresa Alcalde
ıa
Dr. C´sar Burgue˜o
e
n

Depto. de Matem´tica y Estad´
a
ıstica
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administraci´n
ıa,
o
Universidad de La Frontera
Tercera Edici´n - 2008
o

Indice de materias
Introducci´n
o

5

1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . .
1.2 Combinaci´n lineal deecuaciones . . . .
o
1.3 Operaciones elementales . . . . . . . . .
1.4 Sistemas dependientes e independientes .
1.5 Sistema de Cramer . . . . . . . . . . . .
1.6 Proceso de escalonamiento de un sistema
1.7 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . .

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22

2 Espacios Vectoriales
31
2.1 Definici´n y propiedades b´sicas de espacio vectorial . . 31
o
a
2.2 Sub-espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Combinaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Sub-espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Dependencia Lineal . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6 Bases de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.1 M´todo para encontrar una base de un espacio
e
vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.2 Aplicaci´n del Teorema de Steinitz . . . . . . . 89
o
2.7 Dimensi´n de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . 92
o
2.8 Suma de sub-espacios vectoriales . . . . . .. . . . . . 101
2.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3 Aplicaciones Lineales
119
3.1 Introducci´n, definici´n y ejemplos . . . . . . . . . . . 119
o
o
1

2
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

Determinaci´n de una aplicaci´n lineal .
o
o
Imagen y N´cleo de una aplicaci´n lineal
u
o
Morfismos y dimensiones . . . . . . . . .
Estructura de un conjunto demorfismos
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . .
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . .

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170

4 Matrices
4.1 Matriz asociada a una aplicaci´n lineal . . . . . . . . .
o
4.2 Suma de morfismos y suma de matrices . . . . . . . . .
4.3 Producto de un escalar por un morfismo y producto de
un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . ..
4.4 Composici´n de morfismos y producto de matrices . . .
o
4.5 Algunos tipos especiales de matrices . . . . . . . . . . .
4.6 Forma matricial de f (v) = w . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Forma matricial de un sistema de ec. lineales . . . . .
4.8 Isomorfismos y matrices invertibles . . . . . . . . . . .
4.9 Automorfismo y matriz de cambio de base . . . . . . .
4.10 Un morfismo cualquieray matrices equivalentes . . . .
4.11 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173
173
179

5 Determinantes
5.1 Determinantes de matrices de M2 (K) . . .
5.2 Determinantes de matrices de M3 (K) . . .
5.3 Determinante de matrices de Mn (K) . . .
5.4 Interpretaci´n geom´trica del determinante
o
e
5.5Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Determinante de un endomorfismo . . . .
5.7 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . .
5.8 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . .

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6 Diagonalizaci´n
o
6.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . .
o
6.2 Valores propios yvectores propios
6.3 Valores propios simples . . . . . .
6.4 Valores propios m´ltiples . . . . .
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