Algebra lineal

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
INVESTIGACIÓN: UNIDAD 2 MATRICES Y DETERMINANTES
MATERIA: ALGEBRA LINEAL
ING.ARROYO LÓPEZ VICTOR HUGO

ALUMNOS: OSCAR OMAR HERNÁNDEZ
BASURTO PEÑALOZA MINERVA
2do SEMESTRE
AULA: M4
16/05/12

Unidad 2.- Matrices y Determinantes.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas deecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.MATRICESUna matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la formaLa matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son suscolumnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matrizm por n, o matriz m |
2.1.- Definición de Matriz, Notación y Orden.
La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ðn.Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...Ejemplo:
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
CLASES DE MATRICESSegún el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:Matrices cuadradasUna matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada nð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.Matriz identidadSea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.La matriz n-cuadrada con unos en la diagonalprincipal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,A· I = I ·A = A.Matrices triangularesUna matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matricesSon matrices triangulares superioresde órdenes 2, 3 y 4.Matrices diagonalesUna matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, porDiag (3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2, 6,0,-1).Traspuesta de una matrizLa traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por lascolumnas y se denota por AT.Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT =
es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:1. (A + B)T = AT + BT.2. (AT)T = A.3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).4. (AB)T = BTAT.Matrices simétricasSe dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es anti simétrica,Si AT =-A.Ejemplo:Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.Matrices ortogonalesSe dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = ATA = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normalesUna matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz...