algebra lineal


Unidad 4

TEOREMA
Si son vectores de un espacio vectorial V, entonces gen es un subespacio de V.

TEOREMA 1
Si es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector de V se puedeexpresar de manera única como C.L. de B.

Demostración

Como B es una base de V, entonces es L.I. y genera todo V, por tanto todo vector de V es C.L. de B, además al ser B un conjunto L.I., sabemospor un teorema anterior que si un vector es C.L. de B, esta C.L. es única.

TEOREMA 2
Sean un conjunto de generadores de un espacio vectorial V y un conjunto L.I. de V, entonces .

DemostraciónSupongamos que k>n.

Sea un conjunto L.I de V con k>n, hagamos , como el conjunto es L.I. cada uno de los escalares es 0.
Como A es un sistema de generadores de V, cada es C.L del conjunto A,es decir:

multiplicando y asociando, tendremos:

como el conjunto es L.I., tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:


Este es un sistema homogéneo de n ecuaciones y k incógnitas, ycomo k>n hay más incógnitas que ecuaciones, con lo que el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, tendrá soluciones no triviales y por tanto, el conjunto es L.D., contradiciendo la hipótesis.COROLARIO
Sean A y B dos bases de un espacio vectorial V, entonces A y B tienen la misma cantidad de vectores.

Demostración:
Si A y B son dos bases de V, A con n elementos y B con m elementos ysupongamos n y m distintos.
Si A es una base de V, es un sistema de generadores, si m>n B será L.D. por el teorema anterior, lo cual no es posible puesto que B es también una base. Luego, .Corolario
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces:
a) Todo conjunto L.I. de n vectores es una base.
b) Todo sistema de generadores de n vectores es una base.

Demostración
a) Sea unconjunto L.I. de n vectores de V, para que sea una base de V falta probar que genera todo V.
Supongamos que B no genera V, entonces existe al menos un vector en V que no es C.L. de B, si agregamos...