Algebra lineal

Curso de Algebra Lineal (s´ptima versi´n, 2012).
e
o
Luc´ Contreras Caballero.
ıa
Depto. Matem´ticas. Fac. Ciencias.
a
Universidad Aut´noma de Madrid.
o

1

2

´
PROLOGO.
He escrito este curso tratando de expresar de la forma m´s sencilla posible los conceptos de algebra
a
´
lineal, requiriendo solamente los conceptos previos de Bachillerato. Corresponde a los programas delos dos semestres de primer curso de algebra lineal de C.C. F´
´
ısicas en la Universidad Aut´noma de
o
Madrid. Despu´s ha sido ampliado para cubrir tambi´n los programas de los semestres de Algebra
e
e
Lineal y Algebra Lineal y Geometr´ de CC. Matem´ticas.
ıa
a
Aqu´ se encontraban en la tercera versi´n, algunos trabajos originales de la autora: Una introı
o
ducci´n geom´trica a losdeterminantes, una demostraci´n sencilla de la regla de Cramer, demostrao
e
o
ciones elementales del teorema de Jordan en dimensi´n 2, 3 y 4, la obtenci´n de la base de Jordan
o
o
en dimensi´n 2 y 3 y una aplicaci´n del espacio dual a la obtenci´n de condiciones necesarias y
o
o
o
suficientes para la diagonalizaci´n simult´nea de formas cuadr´ticas.
o
a
a
Tambi´n se encontraba unaaplicaci´n del concepto de dimensi´n al c´lculo del rango de una
e
o
o
a
matriz y aplicaciones de la diagonalizaci´n de formas cuadr´ticas, y entre los ejercicios, aplicaciones de
o
a
la diagonalizaci´n de matrices y de su forma de Jordan a problemas de poblaciones. Y se explicitaban
o
el m´todo de Gauss, el teorema de Rouch´-Frobenius y el criterio de Sylvester. Otra aplicaci´n
e
e
ointeresante es la de la t´cnica de las proyecciones al m´todo de m´
e
e
ınimos cuadrados.
En la cuarta versi´n he a˜adido otros trabajos tambi´n originales: condiciones necesarias y sufio
n
e
cientes para detectar el car´cter de las formas cuadr´ticas degeneradas, una demostraci´n elemental
a
a
o
del teorema de Jordan general para endomorfismos, un m´todo f´cil para hallar la forma de Jordany
e
a
una demostraci´n de que el sentido f´
o
ısico de la regla del sacacorchos del producto vectorial coincide
con el sentido matem´tico de dicho producto vectorial.
a
En la quinta versi´n he a˜adido la din´mica de poblaciones. En la sexta versi´n he a˜adido un
o
n
a
o
n
cap´
ıtulo de c´nicas y otro de cu´dricas. En la s´ptima version he a˜adido una ap´ndice sobre el
o
a
e
n
eespacio cociente.
El curso es autocontenido, con todas las demostraciones de los resultados y teoremas expuestos
de forma l´gica y rigurosa.
o
Intentando que los alumnos estudien los conceptos, se introducen motivaciones de los mismos y
se intercalan muchos grupos de ejercicios con dificultad progresiva. Algunos ejercicios se plantean de
forma que se puedan resolver de distintas maneras, locual permite al alumno la comprobaci´n de
o
sus resultados.
Tambi´n he intercalado dibujos que facilitan la comprensi´n de los conceptos y de los razonamiene
o
tos y ejemplos resueltos en los ultimos cap´
´
ıtulos.
Luc´ Contreras Caballero.
ıa
3

´
INDICE.
´
NUMEROS COMPLEJOS.
Introducci´n.
o
Regla de Ruffini para soluciones fraccionarias.
N´meros Complejos.
u
Inverso de unn´mero complejo.
u
Propiedades de las soluciones de las ecuaciones.
Forma trigonom´trica y forma polar de un n´mero complejo.
e
u
Radicaci´n.
o
MATRICES. SUS OPERACIONES.
Introducci´n.
o
Operaciones en las matrices.
Tipos de matrices.
´
´
METODO DE GAUSS Y REDUCCION DE GAUSS-JORDAN.
Introducci´n.
o
M´todo de Gauss.
e
Operaciones elementales en una matriz.
Reducci´n deGauss-Jordan.
o
Matrices Invertibles.
Caracterizaci´n de las matrices invertibles.
o
M´todo de Gauss para obtener la inversa de una matriz invertible.
e
DETERMINANTES y SISTEMAS de ECUACIONES.
Introducci´n.
o
Propiedades de los determinantes y operaciones elementales.
Definici´n de los determinantes.
o
Comprobaci´n de las propiedades.
o
Regla de Cramer sin utilizar la matriz inversa....