algebra lineal
e
Instituto de Ciencias Matem´ticas
a
´
´
SOLUCION y RUBRICA
´
Examen de la Primera Evaluaci´n de Algebra Lineal
o
05 de julio de 2012
R´ brica para todos los temas:
u
Deficiente
Regular
Bueno
Excelente
Vac´ evaluaci´n incompleta o incorrecta del valor de verdad de la
ıo,
o
proposici´n o desarrollo de incoherencias
o
Comprensi´nparcial del problema con errores conceptuales
o
Comprensi´n y planteamiento correcto con errores de procedimiento
o
Planteamiento y procedimiento correctos
0-1
2-5
6-9
10
Ponderaciones:
P1
puntos:
P2
10
5
P3
a b
5 5
P4
a b
10 10
a
8
P5
b c
8 4
P6
Total
5
70
1. (10 pts) Demuestre:
Sea S = {v1 , v2 , ..., vn } un subconjunto linealmenteindependiente de vectores del espacio
vectorial V y sea x un vector de V que no puede ser expresado como una combinaci´n lineal
o
de los vectores de S, entonces {v1 , v2 , ..., vn , x} tambi´n es linealmente independiente.
e
La proposici´n puede escribirse como: (S es L.I.) ∧ (x ∈ gen{S}) ⇒ (S ∪ {x} es L.I. )
o
/
Sea la combinaci´n lineal k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn + kx = 0. Como x ∈ gen(S)entonces
o
/
k = 0, sino fuera as´ dividiendo para k toda la expresi´n dada, se tendr´ x ∈ gen(S).
ı
o
ıa
Entonces la combinaci´n lineal dada se reduce a k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn = 0 y como S
o
es L.I. se tiene que k1 = k2 = · · · = kn = 0, por lo tanto se ha demostrado que la unica
´
soluci´n de k1 v1 +k2 v2 +· · ·+kn vn +kx = 0 es k1 = k2 = · · · = kn = k = 0 y S ∪{x} es L.I.
o´
2. (5 puntos) Rectifique o ratifique la siguiente DEFINICION:
Un conjunto S de vectores de V es linealmente independiente si y solo si el vector neutro
puede ser escrito como combinaci´n lineal de los vectores de S y los escalares de la combio
naci´n lineal son todos ceros.
o
1
2
1
} es L.D. pero se cumple que 0
,
2
4
2
definici´n podr´ escribirse como:
o
ıa
El conjunto {
+02
4
=
0
, entonces la
0
Un conjunto S de vectores de V es linealmente independiente si y solo si el vector neutro
puede ser escrito como combinaci´n lineal de los vectores de S solo si los escalares de la
o
combinaci´n lineal son todos ceros.
o
3. (10 puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA,
justificando formalmente su calificaci´n.
oa) Sea V un espacio vectorial tal que H ⊆ V . Si H es un subespacio vectorial de V entonces
H C es subespacio de V. (FALSO)
Si H es S.E.V. de V entonces 0V ∈ H pero H c = V \ H entonces 0V ∈ H c y por lo
/
c
tanto H no puede ser S.E.V. de V.
b) Sea V = M3×3 y W = {A ∈ M3×3 /aij = 0, i + j = 4}, entonces W es un subespacio de
V . (VERDADERO)
0 0 a
W = {0 b 0 |a, b, c ∈ R}
c 0 0
Wno es vac´ porque al menos tendr´ un vector, por ejemplo: si a = b = c = 0, se
a
ıo,
0 0 0
tiene v = 0 0 0 y v ∈ W
0 0 0
0 0 a
0
0
a1 + a2
0 0 a2
0 0 a1
0 b1 0 + 0 b2 0 = 0
b1 + b2
0 = 0 b 0 ∈ W
c 0 0
c1 + c2
0
0
c2 0 0
c1 0 0
0 0 a
0 0 ka
0 0 a
Sea k ∈ R, k 0 b 0 = 0 kb 0 = 0 b 0 ∈ W
c 0 0
kc 0 0
c 0 04. (20 puntos) Sea V = P3 . Considere el conjunto de todos los subespacios de V tal que
H(a) = gen 1 + ax + x2 + x3 , 1 + ax + (1 − a)x2 + x3 , x + (2a)x2 + 2x3 , 1 + (1 + a)x + (1 + a)x2 + 3x3 .
a) Determine el valor de a para que dimH = 2
1
a
1
1
a
1−a
0
1
2a
1 1+a 1+a
1
1
0
1
∼ ··· ∼
0
2
3
0
0 −2a2 + 1 −2a + 1
1
0
2
0
a
0
00
0
∴ si a = 0 ⇒ dimH = 2
b) Halle una base y la dimensi´n de los subespacios H(0) ∩ H(1) y H(0) + H(1)
o
Por el literal anterior dimH(0) = 2 y H(0) = gen{1+x2 +x3 , x+2x3 }, adem´s ubicando
a
2
3
3
los coeficientes de los vectores de H(1) = gen{1 + x + x + x , 1 + x + x , x + 2x2 +
2x3 , 1 + 2x + 2x2 + 3x3 } como filas de una matriz, se tiene:
1
1
0
1
1
1
1
2
1...
Regístrate para leer el documento completo.