algebra lineal

´
Algebra Lineal
(
por Jes´s Juyumaya
u
Agosto, 2006

´
Indice general
Introducci´n
o

5

Cap´
ıtulo 1. PRELIMINARES

7

1.1. Grupos

7

1.2. Anillos y Cuerpos

11

1.3. Ejercicios

13

Cap´
ıtulo 2. MATRICES

17

2.1. Estructura algebraica de las Matrices

17

2.2. Determinante y Adjunta

21

2.3. Sistemas de Ecuaciones y Forma Normal de Hermite28

2.4. Nociones Complementarias

40

2.5. Ejercicios

41

Cap´
ıtulo 3. ESPACIOS VECTORIALES

47

3.1. Espacios y subespacios vectoriales

47

3.2. Combinaci´n lineal y espacio generado
o

51

3.3. Dependencia e Independencia lineal

54

3.4. Base y dimensi´n
o

56

3.5. Coordenadas y matriz cambio de base

61

3.6. Suma de subespacios y espacios vectoriales64

3.7. Espacio cociente

69

3.8. Ejercicios

71

Cap´
ıtulo 4. TRANSFORMACIONES LINEALES

77

4.1. Transformaciones lineales

77

4.2. El espacio Hom(V, W)

85

4.3. El espacio dual

92
3

´
INDICE GENERAL

4

4.4. Ejercicios
´
Cap´
ıtulo 5. DIAGONALIZACION Y FORMA DE JORDAN

95
103

5.1. Diagonalizaci´n
o

103

5.2. Forma de Jordan

1265.3. Ejercicios

138

Ap´ndice A: Lema de Zorn
e

143

Ap´ndice B: Polinomios
e

145

´
Indice alfab´tico
e

151

Bibliograf´
ıa

153

Introducci´n
o
Los temas tratados en el presente apunte corresponden al curso de
Algebra Lineal I, de la Carrera de Matem´ticas de la Universidad de
a
Valpara´
ıso.
La Carrera de Matem´ticas tiene cuatro semestres de formaci´n
a
ob´sica, una vez terminada ´sta primera etapa, el alumno puede optar
a
e
al Plan de Pedagog´ o de Licenciatura en Matem´ticas. El curso de
ıa
a
´
Algebra Lineal I est´ en el tercer semestre. As´ las materias tratadas
a
ı,
en este apunte, intentan cubrir por una parte los requerimientos que
debe tanto un Pedagogo, como un Licenciado en Matem´ticas en un
a
´
primer curso de AlgebraLineal.
A lo largo del apunte utilizaremos, como es usual, las notaciones
N,

Z,

Q,

R y C

para los n´ meros naturales (incluyendo el 0), enteros, reales y complejos
u
respectivamente.
La escritura a := b quiere decir que el t´rmino a es definido como
e
la expresi´n b. An´logamente con la escritura b =: a.
o
a
Cualquier tipo de observaci´n del presente apunte, por fao
vor enviarlasa: juyumaya@uv.cl

5

CAP´
ıTULO 1

PRELIMINARES
1.1.

Grupos

Definici´n 1.1. Un grupo es un conjunto no vac´ G, provisto de
o
ıo
una funci´n de G × G en G, (a, b) → ab, tal que para todo a, b y c
o
en G se cumplen los siguientes axiomas:
1. a(bc) = (ab)c

(asociatividad).

2. Existe un elemento e ∈ G que satisface ea = ae = a.
3. Todo elemento a ∈ G tiene asociado unelemento a−1 ∈ G tal
que aa−1 = a−1a = e.

La funci´n que define el grupo es llamada operaci´n binaria, ley de
o
o
composici´n interna, o simplemente, producto.
o
El elemento e del axioma 2 es unico, y se llama el neutro del grupo.
´
El elemento a−1 en el axioma 3 est´ unicamente determinado por a.
a´
El grupo es conmutativo (abeliano) si adem´s satisface la propiedad
a
de conmutatividad,es decir: ab = ba, para todo a, b ∈ G.

Definici´n 1.2. El orden de un elemento g en G es el menor nao
tural n tal que gn = e. El orden del grupo es la cantidad de elementos
del grupo.

Ejemplo 1.1. Los conjuntos Z, R, Q y C con la suma usual de
n´ meros, son grupos conmutativos. Con la multiplicaci´n usual los conu
o
juntos R× , Q× y C× , son tambi´n grupos conmutativos.
e
7

8

1.PRELIMINARES

Ejemplo 1.2. El conjunto Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} es un grupo con
la suma de enteros m´dulo n. Tabla de operaciones de Z4:
o
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Ejemplo 1.3. Z× := Zn − {0} es un grupo con la multiplicaci´n
o
n
de enteros m´dulo n si, y s´lo si, n es un n´ mero primo. Tabla de
o
o
u
operaciones de Z× :
5
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2...