Algebra Lineal

Introducción
La programación lineal (PL), los sistemas Lineales de ecuaciones, e inversión de la Matriz son a menudo temas favoritos tanto para instructores como para estudiantes. La capacidad de solucionar estos problemas por el método de pivotaje de Gauss-Jordan (GJP, Gauss-Jordan pivoting), la disponibilidad extendida de paquetes de software, y su amplia variedad de aplicaciones hacen estostemas accesibles hasta para estudiantes con conocimientos matemáticos relativamente limitados. Los libros tradicionales de texto de PL por lo general dedican secciones separadas para cada tema. Sin embargo, las relaciones tan estrechas entre estos temas a menudo no son presentadas o discutidas a fondo. Este artículo amplía las relaciones unidireccionales existentes entre estos temas para construiruna relación bi-direccional completa como en la figura siguiente. Para cada tema es mostrado como el problema puede ser modelado y solucionado por cualquiera de las metodologías asociadas.

Los enlaces adicionales introducidos aquí, le permiten al usuario entender, modelar y solucionar un problema modelado como cualquiera de estos mencionados, teniendo acceso a un paquete de computadora Solver(solucionista). Los objetivos son la unificación teórica así como también los avances en las aplicaciones. Las siguientes seis secciones desarrollan los enlaces que son ilustrados con pequeños ejemplos numéricos. Aunque algunos de estos ejemplos son completamente conocidos, los incluimos aquí para su entendimiento.

Problema de PL Solucionado con el solver (solucionista) para Sistema deEcuaciones.
Esta sección es probablemente una de las más conocidas debido a que muchas introducciones al Método del Simplex Simplex Method de la programación lineal (PL) son desarrolladas utilizando un enfoque de sistema de ecuaciones lineales.
Las coordenadas de los vértices son la solución básica factible de los sistemas de ecuaciones obtenidas poniendo algunas restricciones en la situación límite (esdecir, igualdad). Para una región factible limitada, el número de vértices es a lo mas el valor combinatorial Cpq donde p es el número de restricciones y q es el número de variables. Por lo tanto, tomando cualquier ecuación q, y solucionando simultáneamente, uno obtiene una solución básica (si ésta existe). Sustituyendo esta solución básica en las restricciones de otras ecuaciones, uno puedecomprobar la viabilidad de la solución básica. Si es factible, entonces esta solución es una solución factible básica que proporciona las coordenadas de un punto de esquina de la región factible.
Cada solución de cualquier sistema de ecuaciones es llamada una Solución Básica (SB). Aquellas Soluciones Básicas que son factibles son llamadas Soluciones Básicas Factibles (SBF). Los vértices de conjunto Sson el SBF.
Supongamos que tenemos el siguiente problema de PL con todas las variables sin restricciones en el signo:
Max X1 + X2
Sujeto a: 
X1 + X2  10 
X1  8
X2  12
Para ilustrar el procedimiento, coloque todas las restricciones en su situación límite (es decir, igualdad). El resultado es el siguiente conjunto de 3 ecuaciones con 2 incógnitas:
X1 + X2 = 10
X1 = 8
X2 = 12
Aquítenemos p=3 número de ecuaciones con q=2 número de incógnitas. ¡En términos de “coeficiente binomial", hay como máximo C32 = 3! / [2! (3-2)!] = 3 soluciones básicas. Solucionando los tres sistemas de ecuaciones resultantes, tenemos:
|
X1 | X2 | X1 + X2 |
8 | 2 | 10 |
8 | 12 | 20* |
-2 | 12 | 10 |
La solución óptima es X1 = 8, X2 = 12, con el valor óptimo de 20.
Para más detalles y ejemplosnuméricos visite la pagina de Internet Solution Algorithms for LP Models .

Solución de Sistemas de Ecuaciones con el solver (solucionista) para PL
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones que nos gustaría solucionar y un Solver de PL, pero no tenemos un Solver para el sistema de ecuaciones disponibles. Para solucionar como un problema de PL añada una función objetiva independiente...