Algebra Lineal

85

Diagonalizacion de endomor smos

Cap tulo 6 Diagonalizacion de endomor smos
1. Sea E un R-espacio vectorial y f un endomor smo de E cuya matriz en una
determinada base fu1 u2 u3 g es

01
A = @0

1

21
1 2A
310

Hallar el polinomio caracter stico Q(t) .
1;t 2
1
Q(t) = 0 1 ; t 2 =
3
1 0;t
= ;t3 + (trA)t2 ; (A11 + A22 + A33 )t + detA =
= ;t3 + 2t2 + 4t + 7
Nota Aii es eldeterminante del menor adjunto al elemento aii de la matriz A .

2. Determinar el polinomio caracter stico de la matriz

0 a2 ab ab b2 1
2
2
A = B ab a2 a2 ab C
@ ab b b ab A
2
2
b

ab ab a

dando sus ra ces.

Solucion:

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

86

Algebra Lineal. Problemas resueltos

(a + b)2 ; t ab
ab
b2
2 ; t a2 ; t
2
(a + b)
det(A ; tI ) =(a + b)2 ; t b2 a2b; t ab =
ab
(a + b)2 ; t ab
ab a2 ; t
1 ab
ab
b2
2;t
2
= ((a + b)2 ; t) 1 a b2 a2b; t ab =
1
ab
1 ab
ab a2 ; t
1
ab
ab
b2
2
2
2
ab ;
= ((a + b)2 ; t) 0 a b;; ab t a2b;; ab t ab ; b2 =
2
0
ab ;
ab ; b
0
0
0
a2 ; b2 ; t

a2 ; ab ; t b2 ; ab
= ((a + b) ; t) b2 ; ab a2 ; ab ; t

ab ; b2
ab ; b2 =
2 ; b2 ; t
0
0
a
2 ; ab ; t
2
((a + b)2 ;t)(a2 ; b2 ; t) a b2 ; ab a2b;; ab t =
ab ;
2 + b2 ; 2ab ; t
2
((a + b)2 ; t)(a2 ; b2 ; t) a2 + b2 ; 2ab ; t a2b;; ab t =
a
ab ;
2
((a + b)2 )(a2 ; b2 ; t)((a ; b)2 ; t) 1 a2b;; ab t =
1
ab ;
2
((a + b)2 ; t)(a2 ; b2 ; t)((a ; b)2 ; t) 1 a2b;;2ab t =
0
b;
2

=
=
=
=

= ((a + b)2 ; t)(a2 ; b2 ; t)2 ((a ; b)2 ; t)
y por lo tanto, las ra ces son (a + b)2
plicidad dos.

(a ; b)2(a2 ; b2 ) , y esta ultima de multi-

3. Si A 2 Mn(K ) es una matriz inversible, demostrar que AB y BA tienen los
mismos valores propios (siendo K un cuerpo conmutativo).

Solucion:
En efecto,

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

87

Diagonalizacion de endomor smos

det(AB ; I ) = det(ABAA;1 ; IAA;1 ) = det(ABAA;1 ; A IA;1) =
= det(A(BA ; I )A;1) = detAdet(BA ; I)detA;1 =
= det(BA ; I )

4. Demostrar que si la matriz A 2 Mn(K ) veri ca Am = 0, el unico valor propio
posible de A es el cero (donde K es un cuerpo conmutativo).

Solucion:
Supongamos lo contrario, es decir, supongamos que existe 6= 0 que sea valor propio
de la matriz A , lo que equivale a que sea un valor propio del endomor smo f del
espacio vectorial K n cuya matriz en determinada base esA y esto signi ca que existe
un vector v 2 K n v 6= 0 tal que f (v ) = v 6= 0
Y aplicando f a ambos miembros de la igualdad se tiene

f 2 (v ) = f ( v ) = f (v ) =
luego

2

2

v

es un valor propio no nulo de f 2 y por tanto de A2

inductivamente tenemos que f m = m v 6= 0, en efecto:
Sabemos que es cierto para m = 1 2 supongamos que lo es para m ; 1 veamos que
lo es para m

f(f m;1 v) = f ( m;1 v) =

m;1 f (v ) = m;1

v=

mv

Por lo tanto tenemos que m es valor propio no nulo de la matriz Am = 0 lo cual
es absurdo.

5. Se de ne f : R3 ;! R3 por f (x1 x2 x3) = (x1 x2 0) 8 (x1 x2 x3) 2 R3 .
Comprobar que f es lineal y hallar su matriz en la base natural. Hallar el polinomio
caracter stico y los valores propios. >Es f diagonalizable?

© Los autores, 2000;© Edicions UPC, 2000.

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Algebra Lineal. Problemas resueltos

Solucion:
Veamos la linealidad:

8v = (x1 x2 x3) w = (y1 y2 y3) 2 R3 y 8 2 R se tiene:
f (v + w) = (x1 + y1 x2 + y2 0) = (x1 x2 0) + (y1 y2 0) = f (v ) + f (w)
f ( v) = f ( x1 x2 x3) = ( x1 x2 0) = (x1 x2 0) = f (v)
Determinemos la matriz de la aplicacion f

9

f (e1 ) = e1 >
=
f (e2 ) = e2 >
f (e3 ) = 0

(1)luego la matriz de f en la base natural es:

01
A = @0

1

00
1 0A
000

(2)

El polinomio caracter stico es:

det(f ; tI ) = (1 ; t)2 (;t) = ;t3 + 2t2 ; t
(obvio ya que la matriz es diagonal)
Los valores propios son los valores 2 R tales que 9v 2 R3 v 6= 0 con f (v ) = v y
estos valores son las ra ces del polinomio caracter stico:
(1 ; t)2 (;t) = 0 t = 1 doble

t=0

f...