Algebra lineal
Páginas: 18 (4377 palabras)
Publicado: 23 de septiembre de 2014
Tercera Parte: Producto Vectorial
y Producto Mixto entre vectores
Introducción
Retomemos el caso los dos pintores: Carlos y Juan. Finalizada la tarea de mover el escritorio,
el arquitecto que coordina la obra, indica a los pintores sacar de la pared una llave de gas
vieja que esta en desuso. Para extraerla, los pintores, necesitan una llave de fuerza por lo que
el ‘’esfuerzo’’ no terminó.En la caja de herramientas de Carlos hay llaves de distinto tamaño y longitud por lo que
toman una al azar y Juan comienza a trabajar, después de numerables intentos la tuerca de la
llave de gas no se mueve por lo que decide elegir una llave más larga e intentando
nuevamente comienza a moverse. Como el movimiento es muy lento pues la tuerca esta
oxidada, Juan le pide ayuda a Carlos, y entrelos dos logran moverla mas rápidamente hasta
sacarla.
Si imaginamos la situación, notaremos que el sentido en el que avanza la tuerca es
perpendicular a la llave que se emplea y a la fuerza aplicada, y además intuitivamente
podemos concluir que cuanto mayor es la distancia entre la fuerza aplicada y el punto de
apoyo (usan una llave más larga) y cuanto mayor es la intensidad de la fuerzaaplicada más
fácil es mover la tuerca
por lo que tenemos en juego tres vectores, a saber: el vector que
caracteriza a la distancia del punto de apoyo a la fuerza, la fuerza que se aplica y un vector
perpendicular a ambos que describe el movimiento de la tuerca.
Llegados a este punto, la pregunta oportuna es: ¿existirá algún modelo matemático que
describa la situación?. Es decir ¿existiráalguna operación entre vectores que de cómo
resultado otro vector que sea perpendicular a estos?.
La respuesta es si, el modelo matemático es la operación entre vectores llamada producto
vectorial, ésta operación que permite obtener al vector que caracteriza el movimiento de la
tuerca, es llamado vector momento y se escribe de la siguiente forma: m = F x d.
En esta sección del módulo, estudiaremosdos productos entre vectores, el producto vectorial
entre vectores, y el producto que se define a partir del producto escalar y del producto
vectorial que se denomina: producto mixto.
1
Propósitos
Será muestra intención que cuando finalice la lectura de la tercera sección de la unidad pueda
dar respuesta a las siguientes preguntas:
•
¿Cuáles son las características del vector quese obtiene al efectuar el producto vectorial
entre vectores?
•
¿Cuál es la expresión de cálculo del producto vectorial entre vectores?
•
¿Qué propiedades cumple el producto vectorial entre vectores?
•
¿Qué interpretación geométrica admite la norma del producto vectorial entre vectores?
•
¿Qué operaciones y en qué orden deben efectuarse para calcular un producto mixto entrevectores?
•
¿Cuál es la expresión de cálculo del producto mixto entre vectores?
•
¿Cómo se establece si tres vectores del espacio tridimensional son coplanares?
•
¿Qué interpretación geométrica admite el valor absoluto del producto mixto entre
vectores?
A medida que avance en la lectura, recuerde estas preguntas
ya que ellas son la guía de su estudio.
2
Productovectorial entre vectores
El producto vectorial entre dos vectores: u y v de R3, distintos del vector nulo, da por
resultado un vector w con las siguientes características:
•
La dirección del vector w = u × v es perpendicular a la dirección del vector u y a la
dirección del vector v. Por lo tanto, w = u × v es perpendicular al plano que determinan
u y v.
•
El sentido del vector w = u × v sepuede determinar mediante la regla de la mano
derecha. Sea θ el ángulo entre u y v, si suponemos que los dedos de la mano derecha se
mueven siguiendo el giro del vector u según el ángulo θ hasta coincidir con el vector v ,
entonces el pulgar de la mano derecha indicará el sentido del vector: w = u × v
•
La norma del vector w = u × v es:
w = u × v = u . v . sen θ (siendo θ el ángulo...
y Producto Mixto entre vectores
Introducción
Retomemos el caso los dos pintores: Carlos y Juan. Finalizada la tarea de mover el escritorio,
el arquitecto que coordina la obra, indica a los pintores sacar de la pared una llave de gas
vieja que esta en desuso. Para extraerla, los pintores, necesitan una llave de fuerza por lo que
el ‘’esfuerzo’’ no terminó.En la caja de herramientas de Carlos hay llaves de distinto tamaño y longitud por lo que
toman una al azar y Juan comienza a trabajar, después de numerables intentos la tuerca de la
llave de gas no se mueve por lo que decide elegir una llave más larga e intentando
nuevamente comienza a moverse. Como el movimiento es muy lento pues la tuerca esta
oxidada, Juan le pide ayuda a Carlos, y entrelos dos logran moverla mas rápidamente hasta
sacarla.
Si imaginamos la situación, notaremos que el sentido en el que avanza la tuerca es
perpendicular a la llave que se emplea y a la fuerza aplicada, y además intuitivamente
podemos concluir que cuanto mayor es la distancia entre la fuerza aplicada y el punto de
apoyo (usan una llave más larga) y cuanto mayor es la intensidad de la fuerzaaplicada más
fácil es mover la tuerca
por lo que tenemos en juego tres vectores, a saber: el vector que
caracteriza a la distancia del punto de apoyo a la fuerza, la fuerza que se aplica y un vector
perpendicular a ambos que describe el movimiento de la tuerca.
Llegados a este punto, la pregunta oportuna es: ¿existirá algún modelo matemático que
describa la situación?. Es decir ¿existiráalguna operación entre vectores que de cómo
resultado otro vector que sea perpendicular a estos?.
La respuesta es si, el modelo matemático es la operación entre vectores llamada producto
vectorial, ésta operación que permite obtener al vector que caracteriza el movimiento de la
tuerca, es llamado vector momento y se escribe de la siguiente forma: m = F x d.
En esta sección del módulo, estudiaremosdos productos entre vectores, el producto vectorial
entre vectores, y el producto que se define a partir del producto escalar y del producto
vectorial que se denomina: producto mixto.
1
Propósitos
Será muestra intención que cuando finalice la lectura de la tercera sección de la unidad pueda
dar respuesta a las siguientes preguntas:
•
¿Cuáles son las características del vector quese obtiene al efectuar el producto vectorial
entre vectores?
•
¿Cuál es la expresión de cálculo del producto vectorial entre vectores?
•
¿Qué propiedades cumple el producto vectorial entre vectores?
•
¿Qué interpretación geométrica admite la norma del producto vectorial entre vectores?
•
¿Qué operaciones y en qué orden deben efectuarse para calcular un producto mixto entrevectores?
•
¿Cuál es la expresión de cálculo del producto mixto entre vectores?
•
¿Cómo se establece si tres vectores del espacio tridimensional son coplanares?
•
¿Qué interpretación geométrica admite el valor absoluto del producto mixto entre
vectores?
A medida que avance en la lectura, recuerde estas preguntas
ya que ellas son la guía de su estudio.
2
Productovectorial entre vectores
El producto vectorial entre dos vectores: u y v de R3, distintos del vector nulo, da por
resultado un vector w con las siguientes características:
•
La dirección del vector w = u × v es perpendicular a la dirección del vector u y a la
dirección del vector v. Por lo tanto, w = u × v es perpendicular al plano que determinan
u y v.
•
El sentido del vector w = u × v sepuede determinar mediante la regla de la mano
derecha. Sea θ el ángulo entre u y v, si suponemos que los dedos de la mano derecha se
mueven siguiendo el giro del vector u según el ángulo θ hasta coincidir con el vector v ,
entonces el pulgar de la mano derecha indicará el sentido del vector: w = u × v
•
La norma del vector w = u × v es:
w = u × v = u . v . sen θ (siendo θ el ángulo...
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