algebra lineal

Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales
Contenidos
Muestreo y muestras aleatorias simples
La distribuci´n de la media en el muestreo
o
La distribuci´n de la varianza muestral
o

Lecturas recomendadas:
Cap´
ıtulo 7 del libro de Newbold, Carlson y Thorne (2009).
Cap´
ıtulo 7 del libro de Pe˜a (2001).
n
Cap´
ıtulos 19 a 21 del libro de Pe˜a y Romo (1997).
n
1

Tema 5.Muestreo y distribuciones muestrales
Objetivos de aprendizaje
Saber qu´ es una muestra aleatoria simple
e
Conocer la distribuci´n de la media muestral
o
• Su media y su varianza
• Su distribuci´n en el caso normal
o
• Su distribuci´n aproximada en el caso general (teorema central del l´
o
ımite)
Conocer la distribuci´n de la varianza muestral
o
• Su media
• Su distribuci´n en el casonormal
o

2

Muestreo
Motivaci´n
o
En muchos casos se desea obtener informaci´n estad´
o
ıstica sobre poblaciones
numerosas
• Situaci´n laboral de las personas en edad de trabajar en Espa˜a
o
n
• Fiabilidad de un modelo de autom´vil en un a˜o
o
n
• Precipitaci´n anual en la Comunidad de Madrid
o
Puede ser imposible (por falta de recursos) obtener la informaci´n relativa
o
atodos los individuos
Se estudia una muestra representativa de la poblaci´n
o
• Un subconjunto de la poblaci´n que permita obtener informaci´n fiable
o
o
sobre el total de dicha poblaci´n
o
3

Muestras aleatorias simples
C´mo seleccionar una muestra
o
Tama˜o reducido
n
Ausencia de sesgos
• Conclusiones obtenidas de la muestra son v´lidas para la poblaci´n
a
o
Facilidad en ladefinici´n de la muestra
o
Mejor alternativa: Muestras aleatorias simples
• Cada miembro de la poblaci´n tiene la misma probabilidad de pertenecer
o
a la muestra
• La selecci´n se realiza de manera independiente
o
◦ La selecci´n de un individuo concreto no afecta a la probabilidad de
o
seleccionar cualquiera de los otros
• En la pr´ctica, selecci´n basada en n´meros aleatorios
a
o
u
4Procedimiento de inferencia
Inferencia
Partiendo de la distribuci´n de la variable aleatoria en la muestra
o
Obtener informaci´n sobre distribuci´n de la variable en la poblaci´n
o
o
o
Valores de inter´s: c´lculo de estad´
e a
ısticos para la media, varianza, proporciones
DATOS POBLACIÓN
15,00
11,25
7,50
3,75
0

Parámetros población, !

DATOS MUESTRA

9,5

10,0
7,5
5,0
2,53,8

!

!

Muestreo

4,5

Inferencia

1,6
0,2

0,8

1,5

0

Parámetros muestra, l

5

Ejemplo de muestreo e inferencia
Ejemplo Consideremos el ejemplo de la figura anterior:
Poblaci´n compuesta por 24 individuos
o
Variable aleatoria de inter´s:
e
• Tiempo para completar una consulta m´dica
e
Valores:
Poblaci´n
o

5,1
1,0
9,0

1,0
2,2
5,1

0,9
1,5
0,23,8
4,8
2,3

10,2
1,6
0,8

2,1
8,8
7,8

9,5
4,3
7,7

4,5
1,0
1,5

Promedio de la poblaci´n: 4, 0
o

6

Ejemplo de muestreo e inferencia
Muestra 1
Muestra seleccionada en la figura, tama˜o 7:
n
Muestra

3,8

9,5

4,8

1,6

0,2

0,8

1,5

Estad´
ıstico de inter´s: promedio de la muestra 3, 1
e
Error (sesgo) relativo: (4, 0 − 3, 1)/4, 0 = 0, 225Cambios en el muestreo
Selecciones alternativas de los elementos de la muestra
Aumento del tama˜o de la muestra
n
7

Ejemplo de muestreo
Cambios en el tama˜o muestral
n
Si a la muestra del ejemplo anterior le a˜adimos nuevos elementos, el
n
promedio muestral cambia
Se aproxima al valor de la media poblacional
CAMBIO EN EL PROMEDIO CON EL TAMAÑO MUESTRAL
6,0
4,6
4,5

3,9
3,13,3

7

8

3,6

4,0

11

12

4,6

4,1

4,4

4,2

4,1

15

16

17

4,4

4,4

4,3

4,3

18

19

20

21

4,0

4,2

4,0

22

23

24

3,0

1,5

0

9

10

13

14

Tamaño muestral

8

Ejemplo de muestreo
Si seleccionamos las primeras 7 observaciones obtenemos un promedio de la
muestra igual a 5, 8:
Muestra

5,1

1,0...