Algebra Lineal

Matrices Suma de Elementos Sistemas de Ecuaciones Lineales El Espacio Columna o Im´gen Hechos N´cleo Teorema Determ a u

Econometr´ I ıa
Repaso I : Algebra Lineal

March 2012

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Contenido
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Matrices Operaciones con Matrices Suma de matricesProducto de matrices Suma de Elementos Sistemas de Ecuaciones Lineales Eliminaci´n Gaussiana o Sistemas con Muchas o Ninguna Soluci´n o El Espacio Columna o Im´gen a Hechos N´cleo u Teorema Determinantes Regla de Cramer

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Matrices
a11  a21  = .  . . an1  a12 a22 . . . an2... ... .. . ...  a1k a2k   .  .  . ank

A = [ank ] = [A]nk

La dimensi´n de una matriz est´ representada por n y k o a Matrices Cuadradas Matriz Sim´trica e Matriz Diagonal Matriz Escalar Matriz Identidad Matriz Triangular

Matrices Suma de Elementos Sistemas de Ecuaciones Lineales El Espacio Columna o Im´gen Hechos N´cleo Teorema Determ a u Operaciones con Matrices

Operacionescon Matrices

Igualdad de Matrices Las matrices (o vectores) A y B son iguales si y solo si tienen la misma dimensi´n y cada elemento de A es igual al correspondiente elemento de o B. Matriz Transpuesta La matriz transpuesta se representa por A , esta se crea a partir de una matriz cuya k-´sima fila es la k-´sima columna de la matriz original. La e e definici´n de una matriz sim´trica implica que A= A . o e

Matrices Suma de Elementos Sistemas de Ecuaciones Lineales El Espacio Columna o Im´gen Hechos N´cleo Teorema Determ a u Suma de matrices

Suma de matrices
La operaci´n de suma se extiende a las matrices a partir de la o siguiente definici´n: o C = A + B = [aik + bik ] Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensi´n. En ese caso se afirma que sonconformables o para la suma. Una matriz nula es aquella cuyos elementos son todos ceros: A+0=A De la misma manera, la resta de matrices se define elemento a elemento como si se tratase de escalares. C = A − B = [aik − bik ]

Matrices Suma de Elementos Sistemas de Ecuaciones Lineales El Espacio Columna o Im´gen Hechos N´cleo Teorema Determ a u Producto de matrices

Producto de Matrices

Elproducto de matrices se define a partir del producto interno. El producto interno de dos vectores a y b es un escalar y se escribe: a b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn Para multiplicar dos matrices, el n´mero de columnas de la primera u matriz debe coincidir con el n´mero de filas de la segunda matriz. u Cuando ello ocurre se dice que ambas matrices son conformables para el producto.

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Suma de Elementos

El vector i (columna de unos), permite representar la suma de elementos de cualquier vector x como:
n i=1 xi

= x1 + x2 + ... + xn = i x

Si todos los elementos en x son iguales a la misma constante a, entonces x = ai
n i=1 xi

= i (ai) = na

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Suma de Elementos

Para cualquier constante a y vector x se cumple que:
n i=1 axi

= ai x

Si a = 1/n se obtiene la media aritm´tica, como: e x= ¯ De lo que se deduce: n¯ = x
n i=1 xi 1 n n i=1 xi 1 = ni x

=ix

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Suma de Elementos

La suma de cuadrados y productos cruzados se obtiene f´cilmente a con la operaci´n del producto interno: o
n 2 i=1 xi

=xx

Y la suma de los productos de los elementos de los vectores x e y es:
n i=1 xi yi

=xy

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