Algebra Lineal

Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

´
Algebra lineal

Buenos Aires, agosto de 2008

Prefacio
El ´lgebra lineal es una herramienta b´sica para casi todas las ramas de la matem´tica as´
a
a
a
ı
como para disciplinas afines tales como la f´
ısica, la ingenier´ y la computaci´n, entre otras.
ıa
o
´
Estas notas, basadas en la materia Algebra Lineal destinada a alumnos dela Licenciatura en
Ciencias Matem´ticas y del Profesorado en Matem´ticas de la Facultad de Ciencias Exactas
a
a
y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, que hemos dictado varias veces, pretenden,
entre tantos buenos textos de ´lgebra lineal existentes, ser s´lo una introducci´n b´sica al
a
o
o
a
tema que se ajusta a los contenidos curriculares del curso y, al mismo tiempo, una gu´de
ıa
estudios para los alumnos.
Las notas no presuponen ning´n conocimiento previo de ´lgebra lineal, aunque s´ de alguu
a
ı
nas propiedades b´sicas de polinomios a coeficientes en un cuerpo y de n´meros complejos,
a
u
y en algunos ejercicios se utilizan estructuras que provienen de la aritm´tica elemental. Se
e
comienza con las definiciones b´sicas de estructuras algebraicas necesariaspara definir la
a
noci´n de espacio vectorial, para seguir con la noci´n de subespacio, sistema de generadores
o
o
e independencia lineal. Despu´s de dar una breve introducci´n al tema de las matrices a
e
o
coeficientes en un cuerpo, se definen y estudian las transformaciones lineales, el espacio dual
y la teor´ de determinantes. La diagonalizaci´n de matrices y la forma de Jordan de autoıao
morfismos en espacios de dimensi´n finita se desarrollan a continuaci´n, seguidas del estudio
o
o
de espacios con producto interno reales y complejos. El cap´
ıtulo de variedades lineales puede
verse como una aplicaci´n del ´lgebra lineal a la geometr´ af´ Finalmente, se da una breve
o
a
ıa ın.
introducci´n a la teor´ de formas bilineales.
o
ıa

Gabriela Jeronimo, Juan Sabia ySusana Tesauri

iv

´
Indice General
1 Espacios vectoriales
1.1

1

Espacios vectoriales y subespacios

.........................

1

.................................

1

1.1.1
1.1.2

Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.41.2

Preliminares

Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1
1.2.2

M´todo de triangulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
e
o

1.2.3

Cantidad de soluciones de un sistema homog´neo . . . . . . . . . . . . . 17
e

1.2.41.3

Sistemas lineales homog´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
e

Sistemas lineales no homog´neos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e

Independencia lineal y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1
1.3.2

1.4

Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bases y dimensi´n . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
o

Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1

1.5

Subespacio suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.2

Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Matrices

47

2.1

Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2

Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3

Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4

Coordenadas . . . . . . . . ....