Algebra Lineal
Páginas: 173 (43067 palabras)
Publicado: 1 de octubre de 2014
´
E.T.S. DE INGENIER´ INFORMATICA
IA
Apuntes de
´
ALGEBRA LINEAL
para la titulaci´n de
o
´
INGENIER´ TECNICA EN INFORMATICA
IA ´
´
DE GESTION
Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo
Contenido
Portada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
3
1 Matrices y determinantes
7
1.1
Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
7
1.2
Aritm´tica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
10
1.3
Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .
141.3.2
Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .
15
1.4
Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5
Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.1
Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . .
23
1.6
Factorizaci´n triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
25
1.7Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.1
C´lculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
a
28
1.8
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.9
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
37
2.1Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
38
2.2
M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o
40
2.2.1
Sistemas de ecuaciones lineales homog´neos . . . . . .
e
45
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3
3
4
Contenido
2.3.1
Dependencia e independencia lineal . . . . . .. . . . .
51
2.3.2
Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .
54
Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.1
Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . .
65
2.4.2
Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .75
2.6
Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.7
Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .
80
2.7.1
Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .
80
2.7.2
Espacio fila de A: [R(AT )]. . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.7.3
Espacio nulo de A: N (A). . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.8Teorema de Rouche-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
84
2.9
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.10 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.4
3 Aplicaciones lineales.
109
3.1
Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.2
Ecuaciones de unaaplicaci´n lineal. . . . . . . . . . . . . . . .
o
116
3.3
Ecuaciones del n´cleo y la imagen de una aplicaci´n lineal . .
u
o
117
3.4
Matrices equivalentes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.5
Imagen inversa de una variedad lineal. . . . . . . . . . . . . .
121
3.6
Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . .
1223.7
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
3.8
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4 Ortogonalidad.
145
4.1
Formas bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
4.2
Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
4.3
Ortogonalidad . . . . ....
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o
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Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
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Contenido
Portada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
3
1 Matrices y determinantes
7
1.1
Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
7
1.2
Aritm´tica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
10
1.3
Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .
141.3.2
Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .
15
1.4
Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5
Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.1
Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . .
23
1.6
Factorizaci´n triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
25
1.7Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.1
C´lculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
a
28
1.8
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.9
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
37
2.1Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
38
2.2
M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o
40
2.2.1
Sistemas de ecuaciones lineales homog´neos . . . . . .
e
45
Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3
3
4
Contenido
2.3.1
Dependencia e independencia lineal . . . . . .. . . . .
51
2.3.2
Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .
54
Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.1
Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . .
65
2.4.2
Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .75
2.6
Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.7
Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .
80
2.7.1
Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .
80
2.7.2
Espacio fila de A: [R(AT )]. . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.7.3
Espacio nulo de A: N (A). . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.8Teorema de Rouche-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
84
2.9
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.10 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.4
3 Aplicaciones lineales.
109
3.1
Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.2
Ecuaciones de unaaplicaci´n lineal. . . . . . . . . . . . . . . .
o
116
3.3
Ecuaciones del n´cleo y la imagen de una aplicaci´n lineal . .
u
o
117
3.4
Matrices equivalentes.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.5
Imagen inversa de una variedad lineal. . . . . . . . . . . . . .
121
3.6
Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . .
1223.7
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.8
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4 Ortogonalidad.
145
4.1
Formas bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
4.2
Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ortogonalidad . . . . ....
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