algebra lineal

Álgebra Lineal - Grado de Estadística
Departamento de Álgebra
Universidad de Sevilla

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Índice general
∗

Nota: los capítulos y secciones con asterisco son opcionales.

III

Depto. de Álgebra

IV

Álgebra Lineal

Capítulo 0
* Lenguaje
El objetivo principal en este tema es desarrollar el uso del lenguaje en el
contexto de las matemáticas.

0.1. Lógicaproposicional
0.1.1. Expresiones
La primera cuestión sobre la que trataremos es qué clase de expresiones
se usan en matemáticas como ladrillos para construir. Recordemos de la enseñanza primaria que tenemos oraciones declarativas, imperativas, interrogativas, y exclamaciones. En matemáticas se usan las declarativas, pero tenemos
que precisar un poco más. Definimos una expresión de forma intuitivacomo un
enunciado que puede ser asignado a la clase de cosas que llamamos VERDAD
o a la clase de cosas que llamamos FALSO. Sin embargo, pronto encontramos
problemas.
En primer lugar, tenemos las paradojas. Por ejemplo, “Esta frase es falsa",
no puede ser ni verdadera ni falsa. Si decimos que es verdad, ella misma dice
que es falsa. Y si suponemos que es falsa, nos dice que es verdadera. Noqueremos tener paradojas dentro de las sentencias. Una de las más famosas se puede
encontrar en el capítulo LI de la segunda parte de ’El Quijote’.
En segundo lugar, algunas expresiones contienen lo que los lógicos llaman
una indeterminada. La presencia de una indeterminada en una expresión hace
que no sea una oración. Por ejemplo, si decimos
x se puede escribir como la suma de dos númerosprimos
no la consideramos una oración. El uso de la indeterminada x es como dejar un
hueco sin rellenar, por lo que la expresión no se puede calificar como verdadera
o falsa. Sin embargo, si decimos
1

Depto. de Álgebra
Todo entero entre 3 y 20 se puede escribir como la suma de dos números
primos,
entonces sí tenemos una oración.
Ahora imaginemos el conjunto S de todas las posiblesoraciones. Este conjunto es enorme y complicado, pero una importante característica es que cada
oración se puede poner en exactamente uno de dos subconjuntos: V (oraciones verdaderas) y F (oraciones falsas). Queremos ver las relaciones entre estas
expresiones. En concreto, extraeremos elementos de S y los combinaremos
para generar otros elementos de S , y veremos cómo el carácter de verdadero
o falsode las expresiones elegidas determinan el carácter de la nueva. Vamos a
estudiar tres formas de combinarlas: negación, conjunción y disyunción.

0.1.2. Negación
En general, usaremos las letras p, q, r y demás para representar frases de
manera simbólica. Por ejemplo, definimos una frase p como sigue:
p: Marta ha alquilado un coche hoy.
Ahora consideramos la negación de p, que la notaremospor ¬p. En el ejemplo se traduce como
¬p: Marta no ha alquilado un coche hoy.
Si p es verdad, entonces ¬p es falsa, y al revés. Esto lo escribiremos mediante
una tabla de verdad.
p
V
F

¬p
F
V

0.1.3. Conjunción
Cuando dos expresiones se unen mediante la conjunción Y para producir una oración compuesta, necesitamos una forma de distinguir si la oración
compuesta es verdadera o...