algebra lineal

PRÁCTICA NO. 4
“ÁLGEBRA MATRICIAL”
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Realizar operaciones de suma, resta y producto de matrices, así como producto de un
escalar por una matriz.
INTRODUCCION
Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados las entradas, o elementos de
la matriz.
El tamaño de una matriz es una descripción de los números de renglones y columnas que
tiene. Se dice queuna matriz es de mxn si tiene m renglones y n columnas. Una matriz de
1xm se conoce como una matriz renglón (o vector renglón) y una matriz de nx1 se conoce
como una matriz columna ( o vector columna).
Se utiliza una notación de subíndice doble para hacer referencia a las entradas de una
matriz A: la entrada de A en el renglón i y en la columna j se denota mediante aij. La
notación Aij seutiliza de manera intercambiable con aij, por lo tanto podemos denotar una
matriz de manera compacta mediante  aij  o  aij  . Con esta notación, una matriz
mxn
general de mxn tiene la forma:
 a11
a
 21
 .

 .
 .

 am1

a12
a22
.
.
.
am 2

. . . a1n 
. . . a2 n 
. . . . 

. . . . 
. . . . 

. . . amn 

Si A tiene el mismo número de renglones quede columnas, entonces A se conoce como
matriz cuadrada. Una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales sean todas cero se
denomina matriz diagonal Una matriz diagonal en la cual todas sus entradas diagonales
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sean las mismas se conoce como matriz escalar. Si elescalar de la diagonal es 1, la matriz
escalar se llama matriz identidad.
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y si sus entradas correspondientes son
iguales. De este modo, si A   aij 
y B  bij  ,
mxn
rxs

entonces A=B si y sólo si

m  r y n  s y aij  bij para toda i y j.

A continuación se definen el álgebra matricial:
 Si A   aij  y B  bij  sonmatrices de mxn, su suma A+B es la matriz de mxn
obtenida mediante la suma de las entradas correspondientes. De esta manera,
A  B  aij  bij  . Si A y B no son del mismo tamaño, entonces A+B no está

definida.
 Si A es una matriz de mxn y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar cA es la
matriz de mxn obtenida al multiplicar cada entrada de A por c. De manera más
formal, tenemosque cA  c aij   caij 
 Si A es una matriz de mxn y B es una matriz de nxr, entonces el producto C=AB es
una matriz de mxr. La entrada (i,j) del producto se calcula como sigue:
n

cij   aik bkj ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ainbnj
k 1

Nótese que A y B no necesitan ser del mismo tamaño. Sin embargo, el número de
columnas de A debe ser el mismo que el número de renglones de B.A fin de facilitar el álgebra matricial, a continuación se señalan las propiedades de mayor
importancia:
Propiedades de la adición de matrices y de la multiplicación por escalar
Si A y B son matrices de mxn y c y d son escalares, entonces las siguientes propiedades son
verdaderas:
1. A  B  B  A

Propiedad conmutativa de la adición.

2. A  (B  C )  ( A  B)  C

Propiedadasociativa de la adición.
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3. (cd ) A  c(dA)
4. 1A  A
5. c( A  B)  cA  cB

Propiedad distributiva.

6. (c  d ) A  cA  dA

Propiedad distributiva.

Propiedades de la matriz cero
Llamamos Omn a la matriz cero que tiene m renglones y n columnas y todos suselementos
son cero.
Si A es una matriz de mxn y c es un escalar, entonces las siguientes propiedades son
verdaderas:
1. A  Omn  A
2. A  ( A)  Omn
3.

Si cA  Omn , entonces c  0 o A  Omn

Propiedades de la multiplicación de matrices
Si A, B y C son matrices (de tamaños convenientes para que los productos matriciales estén
definidos) y c es un escalar, entonces las siguientes...