algebra lineal


ALGEBRA LINEAL



ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Una estructura algebraica es un conjunto de operaciones binarias, esta se representan , , así se representan las estructuras algebraicas sencillas, las dobles se representan .

Una operación binaria es cuando dos conjuntos se operan entre si y el resultado de esta operación da un tercer conjunto.

Tabla de Cayley es una tabla que contienefilas y columnas, para poder trabajar con estas tablas se necesitan dos conjuntos finitos ejemplo:
A{1,2,3} y B{4,5,6}
C = A x B → C donde x es una multiplicación ordinaria.

x
4
5
6
1
4
5
6
2
8
10
12
3
12
15
18

Donde c ={4,5,6,8,10,12,15,18}

ESTRUCTURA ALGEBRAICA:

Estos se pueden clasificar según la cantidad deoperaciones que tengan.
Según las leyes que cumplan Las estructuras algebraicas de una operación asi tienen un nombre en particular así:
Si cumple la ley de cierre se le denomina como estructura algebraica monoide.
Si cumple la de cierre y la asociativa es un semigrupo.
Si cumple la de cierre, la asociativa y la ley de identidad es un semi grupo con identidad.
Si cumple la de cierre, laasociativa, la de identidad e la inversa es un grupo.
Si cumple ser grupo mas la ley conmutativa es un grupo abeliano.

Mientras que las estructuras algebraicas de dos operaciones, pueden ser:
Anillos, divisor cero, dominio entero o cuerpo o campo.
Para que una estructura algebraica de dos operaciones sea anillo esta debe analizarse separadamente y así se clasifica:
1- para que sea anillo la primeraoperación debe de ser grupo abeliano como lo vimos anteriormente.
2- Luego debemos de ver si las dos operaciones son compatibles y esto se hace haciendo que la segunda operación de distribuya en la primera operación.
3- Si los dos primeros pasos se cumplen entonces empezaremos a operar la segunda operación tomando en cuenta que:
Si la primera operación es grupo abeliano y la segunda operaciónes grupo entonces este será un anillo.
Si la segunda operación es un semigrupo este será anillo conmutativo o abeliano.
Si la segunda operación es un semigrupo con identidad es un anillo con identidad.

Así se clasifica un anillo.

Para que una estructura algebraica sea divisor cero este debe de cumplir que X y Y que pertenecen un conjunto B entonces X y Y tienen que ser distintos al elementoneutro de la primera operación y al ser operados con la segunda operación este tiene que dar de resultado el elemento neutro de la primera operación por ejemplo:

Para la operación donde X y Y pertenecen al conjunto A y que “ + ” es la suma ordinaria y “x” la multiplicación ordinaria entonces deberíamos tener que X ˆ Y ≠ 0 ya que cero es el elemento neutro de la primera operación y X y Ydeben de ser distintos de cero y al multiplicar X y Y esta operación debe de dar el elemento neutro de la primera operación. Por lo tanto esta estructura algebraica no es un divisor cero.

Para que una estructura algebraica de dos operaciones sea Dominio Entero se dice que primero debe de ser anillo abeliano con identidad y cumplir que X y Y deben de pertenecer a un conjunto B y que si al operarla segunda operación debe de dar el elemento neutro de la primera operación y que X o Y tiene que ser igual al elemento neutro de la primera operación ejemplo:

donde X y Y pertenecen al conjunto A entonces X x Y = 0 si X o Y = 0.

Para que una estructura algebraica de dos operaciones sean cuerpo o campo este tiene que ser primero un dominio entero como lo vimos anteriormente y que todoelemento de la segunda operación tiene un inverso menos el elemento neutro de la primera operación.




Propiedades de las operaciones:

Ley de cierre: esta dice que al operar dos elementos el resultado debe pertenecer al conjunto asignado en la operación.

Elemento inverso o Identidad: este dice que un elemento operado con el neutro de la operación esta debe de dar de resultado el...